Конфігурація Паппа

Конфігурація Паппа — конфігурація дев'яти точок і дев'яти прямих на евклідовій площині, по три точки на прямій і через кожну точку проходять три прямі.

Конфігурація Паппа

Конфігурацію названо на честь Паппа Александрійського. Теорема Паппа стверджує, що будь-які дві трійки колінеарних точок (точок, що лежать на одній прямій) ABC і abc (жодна з яких не лежить на перетині цих двох прямих) можна доповнити до конфігурації Паппа, додавши шість прямих Ab, aB, Ac, aC, Bc, і bC і три точки, які лежать на перетині цих прямих, X = Ab•aB, Y = Ac•aC і Z = Bc•bC. Ці три точки є точками перетинів «протилежних» сторін шестикутника AbCaBc. За теоремою Паппа, отримана система дев'яти точок і восьми прямих завжди містить три точки перетину X, Y і Z, які називають прямою Паппа.

Граф Паппа

Граф Леві конфігурації Паппа відомий як граф Паппа. Це двочастковий симетричний кубічний граф із 18 вершинами і 27 ребрами.

Конфігурація Паппа з трикутників XcC і YbB, розташованих у перспективі (перспектива трикутників — коли прямі, проведені через вершини трикутників, перетинаються в одній точці)

Конфігурацію Паппа можна також отримати з двох трикутників XcC і YbB, розташованих у перспективі один з одним (три прямі, що проходять через відповідні пари точок, перетинаються в одній точці) трьома різними способами, якщо включити три центри перспективи Z, a і A. Точки конфігурації — це вершини трикутників і центри перспектив, а прямі конфігурації — це прямі, що проходять через пари точок, які належать різним трикутникам.

Конфігурацію Дезарга також можна визначити в термінах перспективи трикутників, а конфігурацію Реє можна визначити аналогічно через два тетраедри, які перебувають у перспективі один до одного чотирма різними способами і утворюють ^[en] тетраедрів.

Для будь-якої невиродженої кубики (плоскої алгебричної кривої 3-го порядку) на евклідовій площині, трьох дійсних точок перегину кривої і четвертої точки на кривій існує єдиний спосіб доповнити ці чотири точки, щоб отримати конфігурацію Паппа, в якій всі дев'ять точок лежатимуть на кривій.

Посилання

1. Grünbaum, 2009.
2. Grünbaum, 2009, p. 9.
3. Grünbaum, 2009, p. 28.
4. N. S. Mendelsohn, R. Padmanabhan, Barry Wolk. Combinatorial Design Theory / Charles J. Colbourn, R. A. Mathon. — Elsevier, 1987. — Т. 34. — С. 371–378. — (Annals of Discrete Mathematics) — . — DOI:10.1016/S0304-0208(08)72903-7..

Література

Branko Grünbaum. Configurations of points and lines. — Providence, RI : American Mathematical Society, 2009. — Т. 103. — С. xiv+399. — (Graduate Studies in Mathematics) — .

Посилання

• Weisstein, Eric W. Pappus Configuration(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.