Конфігурація Реє

У математиці конфігурація Реє, яку запропонував Теодор Реє 1882 року, — це конфігурація 12 точок і 16 прямих. Кожна точка конфігурації належить чотирьом прямим, а кожна пряма містить три точки. Таким чином, конфігурація Рейє позначається як 12₄16₃.

Конфігурація Реє

Реалізація

Конфігурацію Реє можна реалізувати в тривимірному проєктивному просторі, якщо взяти як прямі 12 ребер і чотири довгі діагоналі куба, а як точки — вісім вершин куба, його центр і три точки, де чотири паралельних ребра перетинаються на нескінченності. Два правильних тетраедри можуть бути вписані в куб, утворюючи зірчастий октаедр. Ці два тетраедри є перспективними один одному фігурами чотирма різними способами, а інші чотири точки є їх центрами перспективи. Ці два тетраедри разом із тетраедром, утвореним рештою 4 точками, утворюють ^[en] трьох тетраедрів.

Будь-які дві неперетинні сфери в тривимірному просторі з різними радіусами мають два ^[en] подвійних конуси, вершини яких називають центрами подібності. Якщо дано три сфери і їхні центри не колінеарні, їхні шість центрів подібності утворюють шість точок (повного чотирибічника), чотири прямих якого називають осями подібності. Якщо ж дано чотири сфери і їхні центри не лежать в одній площині, то вони утворюють 12 центрів подібності і 16 осей подібності, що дають разом конфігурацію Реє.

Конфігурацію Рейє можна реалізувати у вигляді точок і прямих на евклідовій площині, якщо намалювати тривимірну конфігурацію в ^[en]. Конфігурацію 8₃12₂ восьми точок на дійсній проєктивній площині і 12 прямих, що з'єднують їх зі схемою з'єднань куба, можна розширити до конфігурації Реє тоді й лише тоді, коли вісім точок є перспективною проєкцією паралелепіпеда.

Застосування

Аравінд зауважив, що конфігурація Реє лежить в основі доведення теореми Белла про відсутність прихованих змінних у квантовій механіці.

Пов'язані конфігурації

Конфігурацію Паппа можна отримати з двох трикутників, які є перспективними фігурами один відносно одного трьома різними способами аналогічно інтерпретації конфігурації Реє з використанням десмічних тетраедрів.

Якщо конфігурацію Реє утворено з куба в тривимірному просторі, є 12 площин, кожна з яких містить чотири прямі — шість граней куба і шість площин через протилежні ребра куба. Перетин цих 12 площин і 16 прямих з іншою площиною в загальному положенні дає конфігурацію 16₃12₄, двоїсту конфігурації Реє. Конфігурація Реє і двоїста їй разом утворюють конфігурацію 28₄28₄.

Існує 574 різних конфігурацій типу 12₄16₃.

Примітки

1. Reye, 1882.
2. Hilbert, Cohn-Vossen, 1952.
3. Servatius, Servatius, 2010.
4. Aravind, 2000.
5. Grünbaum, Rigby, 1990.
6. Betten, Betten, 2005.

Література

• , . [1] — М. : Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1936. — 302 с. з джерела 27 січня 2022
• P. K. Aravind. How Reye's configuration helps in proving the Bell-Kochen-Specker theorem: a curious geometrical tale // . — 2000. — Т. 13, вип. 6 (28 червня). — С. 499–519. — DOI:10.1023/A:1007863413622. з джерела 29 вересня 2021. Процитовано 29 вересня 2021.
• . Geometry revealed. — Berlin, New York : , 2010. — . — DOI:10.1007/978-3-540-70997-8.
• Anton Betten, Dieter Betten. More on regular linear spaces // Journal of Combinatorial Designs. — 2005. — Т. 13, вип. 6 (28 червня). — С. 441–461. — DOI:10.1002/jcd.20055. з джерела 12 листопада 2021. Процитовано 29 вересня 2021.
• Branko Grünbaum, J. F. Rigby. The real configuration (21₄) // Journal of the London Mathematical Society. — 1990. — Т. 41, вип. 2 (28 червня). — С. 336–346. — (Second Series). — DOI:10.1112/jlms/s2-41.2.336.
• Th. Reye. Das Problem der Configurationen // . — 1882. — Bd. 1, H. 1 (28 Juni). — S. 93–96. — DOI:10.1007/BF02391837.
• Brigitte Servatius, Herman Servatius. The generalized Reye configuration // . — 2010. — Т. 3, вип. 1 (28 червня). — С. 21–27.