Коло дев'яти точок

Коло дев’яти точок — це коло, яке можна побудувати для будь-якого трикутника. Така назва через те, що воно проходить через дев’ять важливих точок, шість з яких лежать на самому трикутнику (за винятком тупокутних трикутників). Ці точки:

• Середина кожної сторони трикутника;
• Основа кожної висоти;
• Середини відрізків, що сполучають вершини трикутника з ортоцентром.

Дев’ять точок

Коло дев’яти точок також відоме як коло Феєрбаха або коло Ейлера.

Доведення теореми про Коло 9 точок

Малюнок 2

Доведемо тепер, що точки — основи висот, — ${\displaystyle H_{1},H_{2},H_{3}}$, середини відрізків, що сполучають ортоцентр та вершини трикутника, — ${\displaystyle A',B',C',}$ та основи медіан — ${\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3}}$ лежать на одному колі (рис. 2). З'єднаємо точки ${\displaystyle M_{2}}$ та ${\displaystyle A'}$ , ${\displaystyle M_{2}}$та ${\displaystyle M_{1}}$ , ${\displaystyle M_{1}}$та ${\displaystyle B'}$ , ${\displaystyle B'}$ та ${\displaystyle A'}$. Отримаємо паралелограм ${\displaystyle M_{2}A'B'M_{1}}$, тому що ${\displaystyle A'B'}$ — серединна лінія в трикутнику ${\displaystyle ABH}$, тобто відрізок ${\displaystyle A'B'}$ паралельний${\displaystyle AB}$.  ${\displaystyle M_{1}M_{2}}$ — серединна лінія в трикутнику ${\displaystyle ABC}$, звідки випливає, що ${\displaystyle A'B'}$ паралельний ${\displaystyle M_{1}M_{2}}$. Аналогічним чином доводиться, що ${\displaystyle A'M_{2}}$ паралельний ${\displaystyle B'M_{1}}$,  але також паралельний висоті ${\displaystyle CH_{3}}$ , тоді ${\displaystyle \angle M_{2}C'B'=90^{\circ }}$, звідки випливає, що ${\displaystyle \angle B'M_{1}M_{2}=90^{\circ }}$. Тому паралелограм є прямокутником. Тепер з'єднаємо точки ${\displaystyle M_{2}}$ та ${\displaystyle C'}$,  ${\displaystyle C'}$та ${\displaystyle B'}$, ${\displaystyle B'}$та ${\displaystyle M_{3}}$, ${\displaystyle M_{3}}$та ${\displaystyle M_{2}}$. Так само отримаємо, що ${\displaystyle M_{2}B'C'M_{3}}$ — прямокутник. У цих прямокутниках дві спільні вершини, тому ці прямокутники лежать на одному колі, бо в них спільний діаметр. Ми довели, що середини відрізків, отриманих сполученням ортоцентра та вершин трикутника, та основи медіан, належать одному колу. Зараз доведемо, що основи висот також належать цьому колу. ${\displaystyle \angle A'H_{1}M_{1}=90^{\circ }}$ та спирається на діаметр (бо діагоналі в прямокутниках є діаметрами кола, що описане навколо прямокутника) кола, утвореного з середин відрізків, отриманих сполученням ортоцентра та вершин трикутника, і основ медіан, тобто точка ${\displaystyle H_{1}}$ лежить на колі. Аналогічним чином  можна довести, що основи висот ${\displaystyle H_{2}}$ i ${\displaystyle H_{3}}$ також належать цьому колу.

Теорема Феєрбаха

Теорема Феєрбаха стверджує, що

Коло дев'яти точок довільного трикутника дотикається до вписаного кола і всіх трьох зовнівписаних кіл цього трикутника.

Ця теорема була сформульована і доведена в 1822-у році.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Коло дев’яти точок(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.