4-тензор електромагнітного поля

4-тензор електромагнітного поля або просто тензор елекромагнітного поля — це математичний об'єкт, який використовується для описання поля в релятивістській фізиці.

Рівняння теорії відносності особливо зручно записувати, використовуючи так звані 4-вектори й 4-тензори. Головною перевагою такого запису є те, що в цій формі рівняння автоматично Лоренц-інваріантні, тобто не змінюються при переході від однієї інерційної системи координат до іншої.

Відповідний 4-тензор існує також і для опису електромагнітного поля. При його використанні основні рівняння для електромагнітного поля: рівняння Максвела й рівняння руху зарядженої частки в полі мають особливо просту й елегантну форму.

Визначення через 4-потенціал

4-тензор електромагнітного поля визначається, як похідні від 4-потенціалу :

${\displaystyle F_{ik}={\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}}$.

Визначення через тривимірні вектори

4-тензор електромагнітного поля визначається через звичайні тривимірні складові векторів напруженості електричного поля й магнітної індукції так:

${\displaystyle F_{ik}=\left({\begin{matrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-H_{z}&H_{y}\\-E_{y}&H_{z}&0&-H_{x}\\-E_{z}&-H_{y}&H_{x}&0\end{matrix}}\right)}$

${\displaystyle F^{ik}=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-H_{z}&H_{y}\\E_{y}&H_{z}&0&-H_{x}\\E_{z}&-H_{y}&H_{x}&0\end{matrix}}\right)}$

Перша форма — це тензор, друга форма — тензор.

Сила Лоренца

Записане у 4-векторній формі рівняння руху зарядженої частки в електромагнітному полі набирає вигляду

${\displaystyle mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {q}{c}}F^{ik}u_{k}}$,

де ${\displaystyle u^{k}}$ — 4-швидкість, q — електричний заряд частки, c — швидкість світла, m — маса спокою. Права частина цього рівняння це сила Лоренца.

Рівняння Максвелла

Основні рівняння електродинаміки записуються через 4-тензор електромагнітного поля так:

${\displaystyle {\frac {\partial F_{ik}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial F_{kj}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial F_{ji}}{\partial x^{k}}}=0}$.

${\displaystyle {\frac {\partial F^{ik}}{\partial x^{k}}}=-{\frac {4\pi }{c}}j^{i}}$.

де ${\displaystyle j^{i}}$ — 4-вектор густини електричного струму.

Див. також

• Векторний потенціал електромагнітного поля

Примітки

1. Формули на цій сторінці записані у системі одиниць СГСГ.