В математиці числами Каллена називають натуральні числа виду n 2 n 1 displaystyle n cdot 2 n 1 пишеться Cn Числа Каллена

В математиці числами Каллена називають натуральні числа виду $n\cdot 2^{n}+1$ (пишеться C_n). Числа Каллена вперше були досліджені Джеймсом Калленом в 1905. Числа Каллена — це особливий вид чисел Прота.

Властивості

В 1976 році Христофор Хулей (Christopher Hooley) показав, що для щільності послідовності додатних цілих $n\leq x$ , при яких C_n просте, існує o(x) для $x\to \infty$ . В цьому сенсі майже всі числа Каллена складні. Доведення Христофора Хулей було перероблено математиком Хірмі Суяма, щоб показати, що воно вірне для будь-якої послідовності чисел $n\cdot 2^{n+a}+b$ де a та b цілі числа, і частково також для чисел Вудала. Всі відомі прості числа Каллена відповідають n, рівному:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 (послідовність A005849 в OEIS).

Є припущення, що існує нескінченно багато простих чисел Каллена.

До серпня 2009, найбільшим відомим простим числом Каллена було $6679881\cdot 2^{6679881}+1$ . Це мегапросте число з 2 010 852 знаками було відкрито співучасником PrimeGrid з Японії.

Числа Каллена C_n ділятся на $p=2n-1$ , якщо p просте число виду $8k-3$ . Це випливає з малої теореми Ферма, бо якщо p просте непарне, то p є дільником C_m(k) для кожного $m(k)=(2^{k}-k)(p-1)-k$ (для k > 0). Було також показано, що просте число p є дільником $C_{(p+1)/2}$ , коли символ Якобі $\left({\frac {2}{p}}\right)$ −1, і що p є дільником $C_{(3p-1)/2}$ , коли символ Якобі $\left({\frac {2}{p}}\right)$ +1.

Невідомо, чи існує просте число p, таке що C_p також просте.

Узагальнення

Інколи узагальненими числами Каллена називають числа виду $n\cdot b^{n}+1$ , де n + 2 > b. Якщо просте число може бути записано в такій формі, його називають узагальненим простим числом Каллена. Числа Вудала інколи називають числами Каллена другого роду.

До лютого 2012 року найбільшим відомим узагальненим простим числом Каллена було $427194\cdot 113^{427194}+1$ . Воно має 877 069 знаків і було відкрито співучасником PrimeGrid з США.

Посилання

The Prime Database: 6679881*2^6679881+1. Проверено 22 декабря 2009.The Prime Database: 6679881*2^6679881+1, Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database, процитовано 22 грудня 2009
The Prime Database: 427194 • 113^427194 + 1. Проверено 30 января 2012.The Prime Database: 427194 • 113^427194 + 1, Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database, процитовано January 30,2012

Подальше читання

Cullen, James (1905), «Question 15897», Educ. Cullen, James (December 1905), Question 15897, Educ. Times: 534.
Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (вид. 3rd), New York: Springer Verlag, с. section B20, ISBN .
Hooley, Christopher (1976), Applications of sieve methods, New York: Cambridge University Press, сс. 115—119, (1976), Applications of sieve methods, New York: Cambridge University Press, с. 115—119, ISBN .
Keller, Wilfrid (1995), «New Cullen Primes», Mathematics of Computation Т. 64 (212): 1733—1741, <http://www.ams.org/mcom/1995-64-212/S0025-5718-1995-1308456-3/S0025-5718-1995-1308456-3.pdf>Keller, Wilfrid (1995), New Cullen Primes (PDF), , 64 (212): 1733—1741.
Chris Caldwell, The Top Twenty: Cullen primes at The Prime Pages.
The Prime Glossary: Cullen number at The Prime Pages.
Weisstein, Eric W. Cullen number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.(англ.)Weisstein, Eric W. Cullen number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
(outdated), Cullen Prime Search is now hosted at PrimeGrid
Paul Leyland,

[1] The Prime Database: 6679881*2^6679881+1. Проверено 22 декабря 2009.The Prime Database: 6679881*2^6679881+1, Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database, процитовано 22 грудня 2009

[2] The Prime Database: 427194 • 113^427194 + 1. Проверено 30 января 2012.The Prime Database: 427194 • 113^427194 + 1, Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database, процитовано January 30,2012