Цисоїда Діокла

Цисоїда Діокла — плоска алгебрична крива третього порядку. В декартовій системі координат, де вісь абсцис спрямована за ${\displaystyle OX}$, а вісь ординат за ${\displaystyle OY}$на відрізку ${\displaystyle OA=2a}$, як на діаметрі будується допоміжне коло. В точці ${\displaystyle A}$ проводиться дотична ${\displaystyle UV}$. З точки ${\displaystyle O}$ проводиться довільна пряма ${\displaystyle OF}$, яка перетинає коло в точці ${\displaystyle E}$ і дотичну в точці ${\displaystyle F}$. Від точки ${\displaystyle F}$у напрямку точки ${\displaystyle O}$, відкладається відрізок ${\displaystyle FM}$, довжина якого дорівнює довжині відрізка ${\displaystyle OE}$. При обертанні лінії ${\displaystyle OF}$ навколо точки ${\displaystyle O}$, точка ${\displaystyle M}$ описує лінію, яка називається цисоїда Діокла. Дві гілки цієї лінії на мал. 1 показані синім і червоним кольорами.

Мал. 1. Побудова цисоїди. Синя і червона лінії — гілки цисоїди.

Рівняння

Рівняння цисоїди в прямокутній системі координат записується так:

${\displaystyle y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}.\qquad \qquad (1)}$

Рівняння цисоїди в полярній системі координат:

${\displaystyle \rho ={\frac {2a\sin ^{2}\varphi }{\cos \varphi }}.}$

Іноді рівняння цисоїди в полярній системі координат записують так:

${\displaystyle \rho ={\frac {2a\left(1-\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi }}=}$

${\displaystyle =2a\left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\cos \varphi \right)=}$

${\displaystyle =2a\left(\sec \varphi -\cos \varphi \right).}$

Параметричне рівняння цисоїди:

${\displaystyle x={\frac {2au^{2}}{1+u^{2}}},}$ ${\displaystyle y={\frac {2au^{3}}{1+u^{2}}},}$

де

${\displaystyle u=\mathrm {tg} \,\varphi }$.

Історія

Вперше цисоїду досліджував грецький математик Діокл у II столітті до н. е. Діокл будував криву так: знаходиться точка ${\displaystyle P}$, розташована на допоміжному колі симетрично точці ${\displaystyle E}$; вісь симетрії — діаметр ${\displaystyle BD}$. З точки ${\displaystyle P}$ проводиться перпендикуляр до осі абсцис. Точка ${\displaystyle M}$, що належить цисоїді, знаходиться на перетині цього перпендикуляра і прямої ${\displaystyle OE}$. Цим методом Діокл побудував тільки криву ${\displaystyle DOB}$ всередині допоміжного кола. Якщо цю частину цисоїди (${\displaystyle DOB}$) замкнути дугою кола ${\displaystyle EAD}$, то виходить фігура, що нагадує своєю формою листок плюща. Грецькою плющ — χισσος («хіссос»), від чого й походить назва кривої — «цисоїда».

В сучасному вигляді цисоїду відтворив французький математик ^[ru] у 1640 році. Пізніше цисоїду також досліджував голландський математик ^[ru].

Властивості

• Цисоїда симетрична відносно осі абсцис.
• Цисоїда перетинає допоміжне коло в точках ${\displaystyle B}$ і ${\displaystyle D}$, які належать діаметру цього кола.
• Цисоїда має один касп і асимптоту ${\displaystyle UV}$, рівняння якої: ${\displaystyle x=2a}$, де ${\displaystyle a}$ — радіус допоміжного кола.
• Цисоїда є евольвентою параболи з каспом у вершині параболи. При цьому директриса параболи є асимптотою цисоїди.

Площа між цисоїдою і асимптотою

Ця площа дорівнює:

${\displaystyle S_{1}=3\pi a^{2}.}$

Виведення  

Площа, охоплена гілками цисоїди ${\displaystyle KOL}$ і асимптотою ${\displaystyle UV}$ ${\displaystyle S_{1}}$. Рівняння верхньої гілки ${\displaystyle OL}$:

${\displaystyle y={\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}.\qquad \qquad (2)}$

Половина площі, укладеної між цисоїдою і асимптотою, дорівнює інтегралу від рівняння (2) в межах від 0 до ${\displaystyle 2a}$:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}S_{1}=\int \limits _{0}^{2a}{\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}\,dx.\qquad \qquad (3)}$

Підстановка:

${\displaystyle u^{2}=2a-x,\qquad x=2a-u^{2},\qquad dx=-2u\,du.}$

Межі інтегрування:

${\displaystyle x=0\Rightarrow u={\sqrt {2a}},\qquad x=2a\Rightarrow u=0.}$

Інтеграл (3) перетворюється до вигляду:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}S_{1}=-2\int \limits _{\sqrt {2a}}^{0}{\sqrt {(2a-u^{2})^{3}}}\,du=}$

${\displaystyle =\left.-2\left({\frac {u}{8}}(10a-2u^{2}){\sqrt {2a-u^{2}}}+{\frac {3a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {u}{\sqrt {2a}}}\right)\right|_{\sqrt {2a}}^{0}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.}$

Отже:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.}$

${\displaystyle S_{1}=3\pi a^{2}.}$

Об'єм тіла обертання

Об'єм (${\displaystyle V_{1}}$) тіла, утвореного при обертанні гілки ${\displaystyle OL}$ навколо осі абсцис, розраховується так:

${\displaystyle V_{1}=\pi \int \limits _{0}^{2a}{\frac {x^{3}}{2a-x}}\,dx=}$

${\displaystyle =\pi \int \limits _{0}^{2a}\left(-x^{2}-2ax-4a^{2}+{\frac {8a^{3}}{2a-x}}\right)\,dx=}$

${\displaystyle =\left.-{\frac {44\pi a^{3}}{3}}-8\pi a^{3}(\ln(2a-x))\right|_{0}^{2a}.}$

Якщо ${\displaystyle x\to 2a}$, то ${\displaystyle \ln(2a-x)\to -\infty }$, тобто ${\displaystyle V_{1}\to \infty }$.

Див. також

• Конхоїда Слюза

Примітки

1. Акопян А.В. Геометрия в картинках.