Функція суми квадратів

У теорії чисел функція суми квадратів — арифметична функція, яка дає кількість подань натурального числа n як суми k квадратів, де подання, які відрізняються лише порядком доданків або знаками чисел, які підносять до квадрата, вважають різними і позначають r_k(n).

Визначення

Функцію визначають як

${\displaystyle r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\ :\ n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|}$

де ${\displaystyle |\,\ |}$ позначає потужність множини. Іншими словами, r_k(n) — це кількість способів, якими n можна записати як суму k квадратів.

Наприклад, ${\displaystyle r_{2}(1)=4}$, оскільки ${\displaystyle 1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}}$ де кожна сума має дві комбінації знаків, а також ${\displaystyle r_{2}(2)=4}$, оскільки ${\displaystyle 2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}}$ з чотирма комбінаціями знаків. З іншого боку, ${\displaystyle r_{2}(3)=0}$, тому що немає способу подати 3 як суму двох квадратів.

Формули

k = 3

Кількість способів запису натурального числа у вигляді суми двох квадратів визначається як r₂(n):

${\displaystyle r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))}$

де d₁(n) — кількість дільників числа n, рівних 1 за модулем 4, а d₃(n) — кількість дільників числа n, рівних 3 за модулем 4. Використовуючи знак суми, вираз можна записати так:

${\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\,\equiv \,1,3{\pmod {4}}}(-1)^{(d-1)/2}}$

Розклад на прості множники ${\displaystyle n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots }$, де ${\displaystyle p_{i}}$ — прості множники форми ${\displaystyle p_{i}\equiv 1{\pmod {4}},}$ і ${\displaystyle q_{i}}$ — прості множники форми ${\displaystyle q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}}$ дає іншу формулу

${\displaystyle r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots }$, якщо всі показники ${\displaystyle h_{1},h_{2},\cdots }$ парні. Якщо один або декілька ${\displaystyle h_{i}}$ непарні, тоді ${\displaystyle r_{2}(n)=0}$.

k = 4

Гаусс довів, що для вільного від квадратів числа n > 4

${\displaystyle r_{3}(n)={\begin{cases}24h(-n),&{\text{якщо }}n\equiv 3{\pmod {8}},\\0&{\text{якщо }}n\equiv 7{\pmod {8}},\\12h(-4n)&{\text{в інших випадках}},\end{cases}}}$

де h(m) — номер класу цілого числа m.

Існують розширення формули Гауса на довільне ціле число n.

k = 6

Кількість способів подати n у вигляді суми чотирьох квадратів з'ясував Карл Густав Якоб Якобі: вона у вісім разів перевищує суму дільників n, які не діляться на 4, тобто

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{d\,\mid \,n,\ 4\,\nmid \,d}d.}$

Подавши n = 2^km, де m — непарне ціле число, можна виразити ${\displaystyle r_{4}(n)}$ у термінах функції дільників так:

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sigma (2^{\min\{k,1\}}m).}$

k = 8

Кількість способів подати n у вигляді суми шести квадратів визначають так:

${\displaystyle r_{6}(n)=4\sum _{d\mid n}d^{2}{\big (}4\left({\tfrac {-4}{n/d}}\right)-\left({\tfrac {-4}{d}}\right){\big )},}$

де ${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{\cdot }}\right)}$ є символом Кронекера.

k = 2

Якобі також знайшов явну формулу для випадку k = 8:

${\displaystyle r_{8}(n)=16\sum _{d\,\mid \,n}(-1)^{n+d}d^{3}.}$

Твірна функція

Твірну функцію послідовності ${\displaystyle r_{k}(n)}$ для фіксованого k можна виразити через тета-функцію Якобі:

${\displaystyle \vartheta (0;q)^{k}=\vartheta _{3}^{k}(q)=\sum _{n=0}^{\infty }r_{k}(n)q^{n},}$

де

${\displaystyle \vartheta (0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\cdots .}$

Числові значення

Перші 30 значень для ${\displaystyle r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8}$ наведено в таблиці:

n	=	r1(n)	r2(n)	r3(n)	r4(n)	r5(n)	r6(n)	r7(n)	r8(n)
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	2	4	6	8	10	12	14	16
2	2	0	4	12	24	40	60	84	112
3	3	0	0	8	32	80	160	280	448
4	2^2	2	4	6	24	90	252	574	1136
5	5	0	8	24	48	112	312	840	2016
6	2×3	0	0	24	96	240	544	1288	3136
7	7	0	0	0	64	320	960	2368	5504
8	2^3	0	4	12	24	200	1020	3444	9328
9	3^2	2	4	30	104	250	876	3542	12112
10	2×5	0	8	24	144	560	1560	4424	14112
11	11	0	0	24	96	560	2400	7560	21312
12	2^2×3	0	0	8	96	400	2080	9240	31808
13	13	0	8	24	112	560	2040	8456	35168
14	2×7	0	0	48	192	800	3264	11088	38528
15	3×5	0	0	0	192	960	4160	16576	56448
16	2^4	2	4	6	24	730	4092	18494	74864
17	17	0	8	48	144	480	3480	17808	78624
18	2×3^2	0	4	36	312	1240	4380	19740	84784
19	19	0	0	24	160	1520	7200	27720	109760
20	2^2×5	0	8	24	144	752	6552	34440	143136
21	3×7	0	0	48	256	1120	4608	29456	154112
22	2×11	0	0	24	288	1840	8160	31304	149184
23	23	0	0	0	192	1600	10560	49728	194688
24	2^3×3	0	0	24	96	1200	8224	52808	261184
25	5^2	2	12	30	248	1210	7812	43414	252016
26	2×13	0	8	72	336	2000	10200	52248	246176
27	3^3	0	0	32	320	2240	13120	68320	327040
28	2^2×7	0	0	0	192	1600	12480	74048	390784
29	29	0	8	72	240	1680	10104	68376	390240
30	2×3×5	0	0	48	576	2720	14144	71120	395136

Примітки

1. P. T. Bateman (1951). On the Representation of a Number as the Sum of Three Squares (PDF). Trans. Amer. Math. Soc. 71: 70—101. doi:10.1090/S0002-9947-1951-0042438-4.
2. S. Bhargava; Chandrashekar Adiga; D. D. Somashekara (1993). Three-Square Theorem as an Application of Andrews' Identity (PDF). Fibonacci Quart. 31: 129—133.
3. (2007). 5.4 Consequences of the Hasse–Minkowski Theorem. Number Theory Volume I: Tools and Diophantine Equations. Springer. ISBN .
4. Milne, Stephen C. (2002). Introduction. Infinite Families of Exact Sums of Squares Formulas, Jacobi Elliptic Functions, Continued Fractions, and Schur Functions. Springer Science & Business Media. с. 9. ISBN .

Посилання

• Weisstein, Eric W. Sum of Squares Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Слоун, Ніл (ред.). Sequence A122141 (кількість способів запису n у вигляді суми d квадратів). Інтерактивна енциклопедія цілочислових послідовностей. OEIS Foundation.
• Слоун, Ніл (ред.). Sequence A004018 (Тета-ряд квадратної ґратки, r_2(n)). Інтерактивна енциклопедія цілочислових послідовностей. OEIS Foundation.