Функція Гріна (теорія багаточастинкових систем)

Функція Гріна — математична конструкція, що використовується для опису квантових ситем багатьох частинок, зокрема в квантовій теорії поля та в статистичній фізиці. Назва функції пов'язана із функцією Гріна, що використовується в математиці, оскільки вони задовольняють схожі рівняння із точковим джерелом. Функція Гріна містить повну інформацію про квантову систему.

У теорії багатьох частинок поняття функції Гріна використовується для позначення всіх кореляційних функцій, але найчастіше означає корелятор польових операторів народження і знищення.

Двоточкова функція Гріна визначається як:

${\displaystyle G(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},t_{1},t_{2})=-i\langle 0|{\mathcal {T}}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} _{1},t_{1}){\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {r} _{2},t_{2})|0\rangle .}$

Тут G — функція Гріна, ${\displaystyle {\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {r} ,t)}$ — оператори поля в гайзенбергівському зображенні, ${\displaystyle |0\rangle }$ — основний стан квантової системи, ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — оператор часового упорядкування. Часове упорядкування означає те, що всі оператори повинні бути розташовані в порядку зменшення часу. При цьому для ферміонів унаслідок комутаційних співвідношень оператор упорядкування вносить також множник (-1)^p, де p — кількість перестановок, необхідна для встановлення правильного порядку часів.

Загалом функція Гріна невідома й задача її відшукання аналогічна розв'язанню рівняння Шредінгера, але формалізм функцій Гріна для багаточастинкових систем закладає зручну основу для теорії збурень і використання техніки діаграм Фейнмана.

Просторово однорідний випадок

Основні означення

Розглядається теорія багатьох частинок з польовим оператором (оператором знищення у координатному представленні) ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$.

Від картини Шредінгера можна перейти до картини Гейзенберга:

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} Kt}\psi (\mathbf {x} )\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} Kt},}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,t)=[\psi (\mathbf {x} ,t)]^{\dagger },}$

де ${\displaystyle K=H-\mu N}$ — гамільтоніан системи, що описується великим канонічним ансамблем.

Аналогічно для операторів з уявним часом:

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )=\mathrm {e} ^{K\tau }\psi (\mathbf {x} )\mathrm {e} ^{-K\tau },}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )=\mathrm {e} ^{K\tau }\psi ^{\dagger }(\mathbf {x} )\mathrm {e} ^{-K\tau },}$

причому легко бачити, що такий уявночасовий оператор народження ${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )}$ не є ермітово спряженим до оператора знищення ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )}$.

У випадку дійсного часу ${\displaystyle 2n}$-точкова функція Гріна означається таким чином:

${\displaystyle G^{(n)}(1\ldots n|1'\ldots n')=\mathrm {i} ^{n}\langle T\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,}$

де використана скорочена нотація, в якій під ${\displaystyle j}$ мається на увазі ${\displaystyle \mathbf {x} _{j},t_{j}}$, а ${\displaystyle j'}$ позначає ${\displaystyle \mathbf {x} _{j}',t_{j}'}$. Крім того, оператор ${\displaystyle T}$ позначає часове впорядкування, тому польові оператори за ним впорядковуються таким чином, що їхні часові аргументи зростають зправа наліво.

Для уявного часу відповідне означення має вигляд:

${\displaystyle {\mathcal {G}}^{(n)}(1\ldots n|1'\ldots n')=\langle T\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,}$

де під ${\displaystyle j}$ мається на увазі ${\displaystyle \mathbf {x} _{j},\tau _{j}}$. Варто відмітити, що уявночасові змінні ${\displaystyle \tau _{j}}$ обмежені значеннями від нуля до оберненої температури ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{B}T}}}$, де ${\displaystyle k_{B}}$ — стала Больцмана.

Треба відзначити, що приймається така домовленість щодо знаків та нормування: знак функції Гріна обирається так, аби перетворення Фур'є двоточкової (${\displaystyle n=1}$) термальної функції Гріна для вільних частинок мало такий вигляд:

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\xi _{\mathbf {k} }}},}$

а для запізнювальної функції Гріна:

${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\xi _{\mathbf {k} }}},}$

де ${\displaystyle \omega _{n}={[2n+\theta (-\zeta )]\pi }/{\beta }}$ є . Крім того, ${\displaystyle \zeta }$ дорівнює ${\displaystyle +1}$ для бозонів і ${\displaystyle -1}$ для ферміонів, а ${\displaystyle [\ldots ,\ldots ]=[\ldots ,\ldots ]_{-\zeta }}$ позначає відповідно комутатор або антикомутатор.

Фур'є-образ функції Гріна

Для просторово однорідних систем, гамільтоніан яких не залежить від часу, функція Гріна залежить від різниці часів та координат:

${\displaystyle G(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},t_{1},t_{2})=G(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},t_{1}-t_{2})=G(\mathbf {r} ,t).}$

Важливим і зручним для використання є фур'є-образ функції Гріна:

${\displaystyle G(\mathbf {k} ,\omega )=\int G(\mathbf {r} ,t)\exp[-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)]dVdt.}$

Застосування в фізиці твердого тіла

Функція Гріна фермі-газу, в якому електрони не взаємодіють між собою, має вигляд:

${\displaystyle G(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {\hbar }{\hbar \omega -E_{\mathbf {k} }+i\delta }},}$

де ${\displaystyle E_{\mathbf {k} }=\hbar ^{2}k^{2}/2m}$ — енергія електронних станів, m — маса електрона, ${\displaystyle \hbar }$ — зведена стала Планка, а ${\displaystyle \delta }$ — нескінченно мала величина, причому ${\displaystyle \delta >0}$ для ${\displaystyle k>k_{F}}$, і ${\displaystyle \delta <0}$ при ${\displaystyle k<k_{F}}$. Тут ${\displaystyle k_{F}}$ — значення хвильового вектора на сфері Фермі.

Така поведінка характерна для функції Гріна взагалі. Її полюси на комплексній площині частоти або енергії визначають спектр станів системи. У випадку ідеального фермі-газу полюси розташовані близько до дійсної осі (${\displaystyle \delta }$ — нескінченно мала). При розгляді систем частинок, що взаємодіють між собою, полюси функції Гріна лежать на певній віддалі від дійсної осі, а тому містять уявну частину, яка описує затухання збуджень.

Див. також

• Рівняння Калана-Симанзіка

Джерела

• Ребенко О. Л. Основи сучасної теорії взаємодіючих квантованих полів. — К. : Наукова думка, 2007. — 539 с. — .
• Стасюк І. В. Функції Ґріна у квантовій статистиці твердих тіл. — Л. : ЛНУ імені Івана Франка, 2013. — 392 с. — .
• Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. — М. : ГИФМЛ, 1962. — 444 с.
• Блейзо Ж.-П., Рипка Ж. Квантовая теория конечных систем. — К. : Феникс, 1998. — 480 с.
• Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск : РХД, 2009. — 632 с.
• Каданов Л., Бейм Г. Квантовая статистическая механика. — М. : Мир, 1964. — 256 с.
• Маделунг О. Физика твердого тела: Локализованные состояния. — М. : Наука, 1985. — 184 с.
• Райдер Л. Квантовая теория поля. — М. : Мир, 1987. — 511 с.
• Садовский М. В. Диаграмматика. Лекции по избранным задачам теории конденсированного состояния. — Ижевск : РХД, 2010. — 376 с.
• Цвелик А. М. Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния. — М. : Физматлит, 2004. — 320 с.