У математиці, число Фібоначчі є формою послідовності, що рекурсивно визначається як:
- F(0) = 0
- F(1) = 1
- F(n) = F(n-1) + F(n-2), для цілих n > 1.
Так, кожен елемент, окрім перших двох, є сумою двох попередніх елементів послідовності.
Послідовність Фібоначчі досліджувалася протягом тривалого часу, тому для неї було знайдено декілька узагальнень, наприклад, використання чисел, відмінних від 0 та 1 на початку, додавання більше ніж двох чисел для знаходження наступного елемента, або додавання замість звичайних чисел певних об'єктів.
Узагальнення для від'ємних цілих чисел
Використовуючи Fn-2 = Fn — Fn-1, можна розширити послідовність Фібоначчі для від'ємних цілих чисел. Таким чином, отримаємо: … -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, … та F-n = -(-1)nFn.
Узагальнення для всіх дійсних та комплексних чисел
Існує декілька узагальнень чисел Фібоначчі, які дозволяють генерувати послідовності дійсних чисел (та інколи комплексних чисел). Вони включають золотий перетин , та базуються на формулі Бінета:
Аналітична функція
має властивість Fe(n) = Fn для парних n. Подібним чином, аналітична функція:
задовольняє Fo(n) = Fn для непарних n.
І нарешті, склавши разом попередні два вирази, отримуємо аналітичну функцію
яка задовольняє Fib(n)=Fn для всіх цілих чисел n.
Оскільки Fib(x+2) = Fib(x+1) + Fib(x) для всіх комплексних x, ця функція також надає розширення послідовності Фібоначчі на всю комплексну площину. Таким чином, можна знайти узагальнену функцію Фібоначчі, що поширюється на комплексні числа, наприклад,
Векторний простір
Термін Послідовність Фібоначчі можна застосувати більш узагальнено для функції g з цілих чисел на площину g(n+2) = g(n) + g(n+1). Ці функції мають таку ж форму, як g(n) = F(n)g(1) + F(n-1)g(0), отже послідовність Фібоначчі є однією з форм векторного простору з функціями F(n) та F(n-1) у ролі базису.
Більш загально, діапазон g можна взяти так, що він буде будь-якою з Абелевих груп (які також згадуються, як Модуль над кільцем). Тоді послідовності Фібоначчі аналогічно формують 2-вимірний Z-модуль.
Подібні цілочисельні послідовності
Цілочисельна послідовність Фібоначчі
Двовимірний Z-модуль цілочисельної послідовності Фібоначчі складається з усіх цілочисельних послідовностей, що задовольняють g(n+2) = g(n) + g(n+1). Виразивши це через два початкові значення, маємо:
- g(n) = F(n)g(1) + F(n-1)g(0) =
де є золотим перетином.
Співвідношення між двома послідовними елементами сходиться до золотої пропорції, за винятком випадків, коли послідовність складається з нулів, та випадків, коли співвідношення між першими двома елементами становить .
Послідовність може бути записана, як
де a = 0 тільки якщо b = 0. У такій формі, найпростішим не-тривіальним прикладом є a = b = 1, що є послідовністю чисел Люка:
Маємо L(1) = 1 та L(2) = 3. Властивості включають:
Кожна нетривіальна послідовність Фібоначчі виникає (можливо після зсуву на скінченне число позицій) як один з рядків Every nontrivial Fibonacci integer sequence appears (possibly after a shift by a finite number of positions) as one of the rows of the . Сама послідовність Фібоначчі є першим рядком, а зсуви послідовності Люка є другим рядком.
Послідовності Люка
Різні узагальнення послідовності Фібоначчі є видом Послідовностей Люка, формулу якого наведено нижче:
- U(0) = 0,
- U(1) = 1,
- U(n + 2) = PU(n + 1) − QU(n), де звичайна послідовність Фібоначчі є особливим випадком, коли P = 1 та Q = −1. Інший вид послідовності Люка починається з V(0) = 2, V(1) = P. Такі послідовності мають застосування у теорії чисел та доведеннях простих чисел.
При Q = −1, послідовність називається P-послідовністю Фібоначчі, наприклад, послідовність Пелля також називається 2-послідовністю Фібоначчі.
3-послідовністю Фібоначчі є
- 0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, … послідовність A006190 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
4-послідовністю Фібоначчі є
- 0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, … послідовність A001076 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
5-послідовністю Фібоначчі є
- 0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, … послідовність A052918 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
6-послідовністю Фібоначчі є
- 0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, … послідовність A005668 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
n-стала Фібоначчі це співвідношення, до якого прямує відповідна n-послідовність Фібоначчі і це єдиний додатній корінь з x2 − nx − 1 = 0. Наприклад, у випадку, коли n = 1 це , або золотий перетин, а у випадку, коли n = 2 це , або срібний перетин. У загальному випадку, для деякого n це .[]
У загальному, U(n) можна назвати (P,-Q)-послідовністю Фібоначчі, а V(n) можна назвати (P,-Q)-послідовністю Люка.
(1,2)-послідовність Фібоначчі це
- 0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, … послідовність A001045 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
(1,3)-послідовність Фібоначчі це
- 1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332, 25856071, 59541067, … послідовність A006130 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
(2,2)-послідовність Фібоначчі це
- 0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, … послідовність A002605 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
(3,3)-послідовність Фібоначчі це
- 0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, … послідовність A030195 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
Числа Фібоначчі вищих порядків
Послідовністю Фібоначчі n порядку є цілочисельна послідовність, у якій кожен елемент є сумою попередніх n елементів (за винятком перших n елементів послідовності). Звичайні числа Фібоначчі є послідовністю Фібоначчі 2 порядку. Випадки n=3 та n=4 були ретельно досліджені. Кількість невід'ємних цілих чисел на частини, не менші ніж n є послідовністю Фібоначчі n порядку.
Числа трібоначчі
Числа трібоначчі є подібними до чисел Фібоначчі, але, замість того, щоб починатися з двох визначених наперед елементів, такі послідовності починаються з трьох, а кожен наступний елемент є сумою попередніх трьох. Перші декілька чисел трібоначчі це:
- 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, … послідовність A000073 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
Сталою трібоначчі є ≈ 1.839286755, це стала, до якої прямують співвідношення між двома сусідніми елементами послідовності. Це число є коренем x3 − x2 − x − 1, approximately 1.839286755214161 послідовність A058265 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS, а також задовольняє рівняння x + x−3 = 2. Цей факт є важливим при вивченні кирпатого куба.
Числа тетраначчі
Послідовність тетраначчі починається з чотирьох визначених чисел, а кожне наступне є сумою попередніх чотирьох. Перші елементи послідовності виглядають так:
- 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … послідовність A000078 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
Константою тетраначчі називають число, до якого прямує співвідношення між сусідніми елементами послідовності тетраначчі. Воно є коренем поліному x4 − x3 − x2 − x − 1, approximately 1.927561975482925 A086088, а також задовольняє рівняння x + x−4 = 2.
Вищі порядки
Було обчислено пентаначчі, гексаначчі та гептаначчі. Послідовність пентаначчі має такий вигляд:
- 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, … послідовність A001591 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
Послідовність гексаначчі:
- 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, … послідовність A001592 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
Послідовність гептаначчі:
- 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, … послідовність A122189 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
Послідовність октаначчі:
- 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, … послідовність A079262 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
Послідовність ноначчі:
- 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, … послідовність A104144 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
Границя співвідношення кожного наступного елемента послідовностей n-наччі прямує до кореня рівняння (послідовність A103814 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS, послідовність A118427 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS, послідовність A118428 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).
Альтернативною рекурсивною формулою для границі співвідношення r двох послідовних чисел з послідовності n-наччі є .
Особливий випадок n = 2 є традиційною послідовністю Фібоначчі, що створює золотий перетин .
Див. також
Література
- . Архів оригіналу за 27 жовтня 2009. Процитовано 27 жовтня 2009.
- Pravin Chandra and Fibonacci Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Morrison, D. R. (1980), A Stolarsky array of Wythoff pairs, (PDF), Santa Clara, Calif: The Fibonacci Association, с. 134—136, архів оригіналу (PDF) за 4 березня 2016, процитовано 23 грудня 2016.
Посилання
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), number Tribonacci number, Математична енциклопедія, , ISBN
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici chislo Fibonachchi ye formoyu poslidovnosti sho rekursivno viznachayetsya yak F 0 0 F 1 1 F n F n 1 F n 2 dlya cilih n gt 1 Tak kozhen element okrim pershih dvoh ye sumoyu dvoh poperednih elementiv poslidovnosti Poslidovnist Fibonachchi doslidzhuvalasya protyagom trivalogo chasu tomu dlya neyi bulo znajdeno dekilka uzagalnen napriklad vikoristannya chisel vidminnih vid 0 ta 1 na pochatku dodavannya bilshe nizh dvoh chisel dlya znahodzhennya nastupnogo elementa abo dodavannya zamist zvichajnih chisel pevnih ob yektiv Uzagalnennya dlya vid yemnih cilih chiselVikoristovuyuchi Fn 2 Fn Fn 1 mozhna rozshiriti poslidovnist Fibonachchi dlya vid yemnih cilih chisel Takim chinom otrimayemo 8 5 3 2 1 1 0 1 1 2 3 5 8 ta F n 1 nFn Uzagalnennya dlya vsih dijsnih ta kompleksnih chiselIsnuye dekilka uzagalnen chisel Fibonachchi yaki dozvolyayut generuvati poslidovnosti dijsnih chisel ta inkoli kompleksnih chisel Voni vklyuchayut zolotij peretin f displaystyle varphi ta bazuyutsya na formuli Bineta Fn fn f n5 displaystyle F n frac varphi n varphi n sqrt 5 Analitichna funkciya Fe x fx f x5 displaystyle Fe x frac varphi x varphi x sqrt 5 maye vlastivist Fe n Fn dlya parnih n Podibnim chinom analitichna funkciya Fo x fx f x5 displaystyle Fo x frac varphi x varphi x sqrt 5 zadovolnyaye Fo n Fn dlya neparnih n I nareshti sklavshi razom poperedni dva virazi otrimuyemo analitichnu funkciyu Fib x fx cos xp f x5 displaystyle Fib x frac varphi x cos x pi varphi x sqrt 5 yaka zadovolnyaye Fib n Fn dlya vsih cilih chisel n Oskilki Fib x 2 Fib x 1 Fib x dlya vsih kompleksnih x cya funkciya takozh nadaye rozshirennya poslidovnosti Fibonachchi na vsyu kompleksnu ploshinu Takim chinom mozhna znajti uzagalnenu funkciyu Fibonachchi sho poshiryuyetsya na kompleksni chisla napriklad Fib 3 4i 5248 5 14195 9i displaystyle Fib 3 4i approx 5248 5 14195 9i Vektornij prostirTermin Poslidovnist Fibonachchi mozhna zastosuvati bilsh uzagalneno dlya funkciyi g z cilih chisel na ploshinu g n 2 g n g n 1 Ci funkciyi mayut taku zh formu yak g n F n g 1 F n 1 g 0 otzhe poslidovnist Fibonachchi ye odniyeyu z form vektornogo prostoru z funkciyami F n ta F n 1 u roli bazisu Bilsh zagalno diapazon g mozhna vzyati tak sho vin bude bud yakoyu z Abelevih grup yaki takozh zgaduyutsya yak Modul nad kilcem Todi poslidovnosti Fibonachchi analogichno formuyut 2 vimirnij Z modul Podibni cilochiselni poslidovnostiCilochiselna poslidovnist Fibonachchi Dokladnishe Cilochiselni poslidovnosti Fibonachchi za modulem n Dvovimirnij Z modul cilochiselnoyi poslidovnosti Fibonachchi skladayetsya z usih cilochiselnih poslidovnostej sho zadovolnyayut g n 2 g n g n 1 Virazivshi ce cherez dva pochatkovi znachennya mayemo g n F n g 1 F n 1 g 0 g 1 fn f n5 g 0 fn 1 f 1 n5 displaystyle g 1 varphi n varphi n over sqrt 5 g 0 varphi n 1 varphi 1 n over sqrt 5 de f displaystyle varphi ye zolotim peretinom Spivvidnoshennya mizh dvoma poslidovnimi elementami shoditsya do zolotoyi proporciyi za vinyatkom vipadkiv koli poslidovnist skladayetsya z nuliv ta vipadkiv koli spivvidnoshennya mizh pershimi dvoma elementami stanovit f 1 displaystyle varphi 1 Poslidovnist mozhe buti zapisana yak afn b f n displaystyle a varphi n b varphi n de a 0 tilki yaksho b 0 U takij formi najprostishim ne trivialnim prikladom ye a b 1 sho ye poslidovnistyu chisel Lyuka Ln fn f n displaystyle L n varphi n varphi n Mayemo L 1 1 ta L 2 3 Vlastivosti vklyuchayut fn 12 1 5 n 12 L n F n 5 displaystyle varphi n left frac 1 2 left 1 sqrt 5 right right n frac 1 2 left L n F n sqrt 5 right L n F n 1 F n 1 displaystyle L left n right F left n 1 right F left n 1 right Kozhna netrivialna poslidovnist Fibonachchi vinikaye mozhlivo pislya zsuvu na skinchenne chislo pozicij yak odin z ryadkiv Every nontrivial Fibonacci integer sequence appears possibly after a shift by a finite number of positions as one of the rows of the Sama poslidovnist Fibonachchi ye pershim ryadkom a zsuvi poslidovnosti Lyuka ye drugim ryadkom Poslidovnosti Lyuka Rizni uzagalnennya poslidovnosti Fibonachchi ye vidom Poslidovnostej Lyuka formulu yakogo navedeno nizhche U 0 0 U 1 1 U n 2 PU n 1 QU n de zvichajna poslidovnist Fibonachchi ye osoblivim vipadkom koli P 1 ta Q 1 Inshij vid poslidovnosti Lyuka pochinayetsya z V 0 2 V 1 P Taki poslidovnosti mayut zastosuvannya u teoriyi chisel ta dovedennyah prostih chisel Pri Q 1 poslidovnist nazivayetsya P poslidovnistyu Fibonachchi napriklad poslidovnist Pellya takozh nazivayetsya 2 poslidovnistyu Fibonachchi 3 poslidovnistyu Fibonachchi ye 0 1 3 10 33 109 360 1189 3927 12970 42837 141481 467280 1543321 5097243 16835050 55602393 183642229 606529080 poslidovnist A006190 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 4 poslidovnistyu Fibonachchi ye 0 1 4 17 72 305 1292 5473 23184 98209 416020 1762289 7465176 31622993 133957148 567451585 2403763488 poslidovnist A001076 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 5 poslidovnistyu Fibonachchi ye 0 1 5 26 135 701 3640 18901 98145 509626 2646275 13741001 71351280 370497401 1923838285 9989688826 poslidovnist A052918 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 6 poslidovnistyu Fibonachchi ye 0 1 6 37 228 1405 8658 53353 328776 2026009 12484830 76934989 474094764 2921503573 18003116202 poslidovnist A005668 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS n stala Fibonachchi ce spivvidnoshennya do yakogo pryamuye vidpovidna n poslidovnist Fibonachchi i ce yedinij dodatnij korin z x2 nx 1 0 Napriklad u vipadku koli n 1 ce 1 52 displaystyle frac 1 sqrt 5 2 abo zolotij peretin a u vipadku koli n 2 ce 1 2 displaystyle 1 sqrt 2 abo sribnij peretin U zagalnomu vipadku dlya deyakogo n ce n n2 42 displaystyle frac n sqrt n 2 4 2 dzherelo U zagalnomu U n mozhna nazvati P Q poslidovnistyu Fibonachchi a V n mozhna nazvati P Q poslidovnistyu Lyuka 1 2 poslidovnist Fibonachchi ce 0 1 1 3 5 11 21 43 85 171 341 683 1365 2731 5461 10923 21845 43691 87381 174763 349525 699051 1398101 2796203 5592405 11184811 22369621 44739243 89478485 poslidovnist A001045 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 1 3 poslidovnist Fibonachchi ce 1 1 4 7 19 40 97 217 508 1159 2683 6160 14209 32689 75316 173383 399331 919480 2117473 4875913 11228332 25856071 59541067 poslidovnist A006130 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 2 2 poslidovnist Fibonachchi ce 0 1 2 6 16 44 120 328 896 2448 6688 18272 49920 136384 372608 1017984 2781184 7598336 20759040 56714752 poslidovnist A002605 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 3 3 poslidovnist Fibonachchi ce 0 1 3 12 45 171 648 2457 9315 35316 133893 507627 1924560 7296561 27663363 104879772 397629405 1507527531 5715470808 poslidovnist A030195 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEISChisla Fibonachchi vishih poryadkiv Poslidovnistyu Fibonachchi n poryadku ye cilochiselna poslidovnist u yakij kozhen element ye sumoyu poperednih n elementiv za vinyatkom pershih n elementiv poslidovnosti Zvichajni chisla Fibonachchi ye poslidovnistyu Fibonachchi 2 poryadku Vipadki n 3 ta n 4 buli retelno doslidzheni Kilkist nevid yemnih cilih chisel na chastini ne menshi nizh n ye poslidovnistyu Fibonachchi n poryadku Chisla tribonachchi Chisla tribonachchi ye podibnimi do chisel Fibonachchi ale zamist togo shob pochinatisya z dvoh viznachenih napered elementiv taki poslidovnosti pochinayutsya z troh a kozhen nastupnij element ye sumoyu poperednih troh Pershi dekilka chisel tribonachchi ce 0 0 1 1 2 4 7 13 24 44 81 149 274 504 927 1705 3136 5768 10609 19513 35890 66012 poslidovnist A000073 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Staloyu tribonachchi ye 1 19 3333 19 33333 displaystyle tfrac 1 sqrt 3 19 3 sqrt 33 sqrt 3 19 3 sqrt 33 3 1 839286755 ce stala do yakoyi pryamuyut spivvidnoshennya mizh dvoma susidnimi elementami poslidovnosti Ce chislo ye korenem x3 x2 x 1 approximately 1 839286755214161 poslidovnist A058265 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS a takozh zadovolnyaye rivnyannya x x 3 2 Cej fakt ye vazhlivim pri vivchenni kirpatogo kuba Chisla tetranachchi Poslidovnist tetranachchi pochinayetsya z chotiroh viznachenih chisel a kozhne nastupne ye sumoyu poperednih chotiroh Pershi elementi poslidovnosti viglyadayut tak 0 0 0 1 1 2 4 8 15 29 56 108 208 401 773 1490 2872 5536 10671 20569 39648 76424 147312 283953 547337 poslidovnist A000078 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Konstantoyu tetranachchi nazivayut chislo do yakogo pryamuye spivvidnoshennya mizh susidnimi elementami poslidovnosti tetranachchi Vono ye korenem polinomu x4 x3 x2 x 1 approximately 1 927561975482925 A086088 a takozh zadovolnyaye rivnyannya x x 4 2 Vishi poryadki Bulo obchisleno pentanachchi geksanachchi ta geptanachchi Poslidovnist pentanachchi maye takij viglyad 0 0 0 0 1 1 2 4 8 16 31 61 120 236 464 912 1793 3525 6930 13624 poslidovnist A001591 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Poslidovnist geksanachchi 0 0 0 0 0 1 1 2 4 8 16 32 63 125 248 492 976 1936 3840 7617 15109 poslidovnist A001592 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Poslidovnist geptanachchi 0 0 0 0 0 0 1 1 2 4 8 16 32 64 127 253 504 1004 2000 3984 7936 15808 poslidovnist A122189 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Poslidovnist oktanachchi 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 4 8 16 32 64 128 255 509 1016 2028 4048 8080 16128 poslidovnist A079262 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Poslidovnist nonachchi 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 4 8 16 32 64 128 256 511 1021 2040 4076 8144 16272 poslidovnist A104144 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Granicya spivvidnoshennya kozhnogo nastupnogo elementa poslidovnostej n nachchi pryamuye do korenya rivnyannya x x n 2 displaystyle x x n 2 poslidovnist A103814 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS poslidovnist A118427 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS poslidovnist A118428 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Alternativnoyu rekursivnoyu formuloyu dlya granici spivvidnoshennya r dvoh poslidovnih chisel z poslidovnosti n nachchi ye r k 0n 1r k displaystyle r sum k 0 n 1 r k Osoblivij vipadok n 2 ye tradicijnoyu poslidovnistyu Fibonachchi sho stvoryuye zolotij peretin ϕ 1 1ϕ displaystyle phi 1 frac 1 phi Div takozhPoslidovnist Fibonachchi Zolotij peretin Chislo Lyuka Kub FibonachchiLiteratura Arhiv originalu za 27 zhovtnya 2009 Procitovano 27 zhovtnya 2009 Pravin Chandra and Fibonacci Number angl na sajti Wolfram MathWorld Morrison D R 1980 A Stolarsky array of Wythoff pairs PDF Santa Clara Calif The Fibonacci Association s 134 136 arhiv originalu PDF za 4 bereznya 2016 procitovano 23 grudnya 2016 PosilannyaHazewinkel Michiel red 2001 number Tribonacci number Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4