Томагавк це інструмент у геометрії для трисекції кута задачі розбиття кута на три рівні частини Фігура складається з пів

Томагавк — це інструмент у геометрії для трисекції кута, задачі розбиття кута на три рівні частини. Фігура складається з півкола і двох відрізків і зовні нагадує томагавк, сокиру індіанців. Той самий інструмент іноді називали ножем шевця, проте цю назву вже широко використовують для іншої фігури, арбелоса (трикутник зі сторонами у вигляді півкола).

Томагавк, у якого виділено ручку та вістря

Опис

Основна фігура томагавка складається з півкола («леза» томагавка), з продовженням діаметра відрізком, рівним радіусу півкола («вістря» томагавка), і ще одним відрізком довільної довжини («ручка» томагавка), перпендикулярному до діаметра. Щоб перетворити фігуру на фізичний інструмент, ручку та вістря роблять з ненульовою товщиною, але відрізки мають залишатися межами фігури. На відміну від трисекції за допомогою ^[en], протилежна сторона ручки не мусить бути відрізком, паралельним до робочої сторони.

У деяких джерелах вказується повне коло, а не півколо, або сторона томагавка вздовж діаметра також розширюється, але ці модифікації не впливають на роботу з інструментом.

Трисекція

При використанні томагавка для трисекції кута, томагавк розміщують так, щоб ручка лежала на вершині кута, лезо (напівкруг) дотикалося однієї сторони кута (зсередини), а вістря томагавка лежало на іншій стороні кута. Одна з прямих трисекції тоді пройде вздовж ручки, інша — через центр півкола. Якщо кут, який слід розділити на три частини, занадто гострий відносно довжини ручки томагавка, вказаною процедурою кут на три частини поділити не можна, але це обмеження можна обійти, якщо подвоювати кут, доки побудова не буде можливою, а потім поділити кут потрібне число разів навпіл.

Якщо вершину кута позначити буквою A, точку торкання леза буквою B, центр півкола буквою C, основу ручки буквою D, а вершину вістря буквою E, то трикутники ACD та ADE є прямокутними трикутниками зі спільною висотою та рівними катетами при основі. Отже, ці трикутники рівні. Оскільки сторони AB та BC трикутника ABC є дотичним відрізком та радіусом півкола, ці сторони рівні AD та DC відповідно. Таким чином, трикутник ACD дорівнює трикутникам ACB і AED, що показує, що кути при вершині кута A рівні.

Хоча сам томагавк можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки і його можна використати для трисекції кута, це не суперечить теоремі 1837 П'єра Ванцеля про те, що довільний кут неможливо поділити на три частини за допомогою лише циркуля та лінійки. Причина в тому, що поміщення побудованого томагавка в потрібну позицію є різновидом невсісу, а це не дозволяється в побудові за допомогою циркуля та лінійки.

Історія

Хто придумав томагавк — невідомо, але раннє посилання йде з Франції XIX століття. Простежуються посилання до 1835, коли томагавк з'явився в книзі ^[fr]Géométrie appliquée à l’industrie, à l’usage des artistes et des ouvriers. Ту саму побудову опублікував 1877 рокук Анрі Брокар. Вівн, у свою чергу, приписував винахід побудови французькому морському офіцеру П'єру-Жозефу Глотену.

Примітки

Yates, 1941, с. 278–293.
Gardner, 1975, с. 262–263.
Dudley, 1996, с. 14–16.
Alsina, Nelsen, 2010, с. 147–148.
Meserve, 1982, с. 244.
Isaacs, 2009, с. 209–210.
Eves, 1995, с. 191.
Wantzel, 1837, с. 366–372.
Слово «невсіс» Ла Нейв і Мазур (La Nave, Mazur, 2002) описали в значенні «сімейство побудов, які залежать від одного параметра». У цих побудовах за зміни параметра відбуваються деякі комбінаторні зміни в побудові. Ла Нейв і Мазур описують трисекцію, відмінну від використання томагавка, але той самий опис підходить і тут — ручка томагавка поміщається на вершину кута, параметризація виконується позицією вершини вістря томагавка на промені, що дає сімейство побудов, у якому відносне положення леза та його променя змінюються, доки вістря не потрапить у потрібне місце.
Aaboe, 1997, с. 87.
Brocard, 1877, с. 43–47.
Glotin, 1863, с. 253–278.
Martin, 1998.
Дадлі (Dudley, 1996) помилково написав ці імена як Bricard і Glatin.

Література

I. Martin Isaacs. Geometry for College Students. — American Mathematical Society, 2009. — Т. 8. — (Pure and Applied Undergraduate Texts) — .
Underwood Dudley. The Trisectors. — 2nd. — Cambridge University Press, 1996. — С. 14–16. — (MAA Spectrum) — .
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. — Mathematical Association of America, 2010. — Т. 42. — С. 147–148. — (Dolciani Mathematical Expositions) — .
Robert C. Yates. The Trisection Problem, Chapter III: Mechanical trisectors // National Mathematics Magazine. — 1941. — Т. 15, вип. 6 (8 липня). — С. 278–293.
Martin Gardner. Mathematical Carnival: from penny puzzles, card shuffles and tricks of lightning calculators to roller coaster rides into the fourth dimension. — Knopf, 1975. — С. 262–263.
Bruce E. Meserve. Fundamental Concepts of Algebra. — Courier Dover Publications, 1982. — .
Howard Whitley Eves. College Geometry. — Jones & Bartlett Learning, 1995. — С. 191. — .
L. Wantzel. Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1837. — Vol. 1, livr. 2 (8 juillet). — P. 366–372.
Federica La Nave, Barry Mazur. Reading Bombelli // The Mathematical Intelligencer. — 2002. — Т. 24, вип. 1 (8 липня). — С. 12–21. — DOI:10.1007/BF03025306.
Asger Aaboe. Episodes from the Early History of Mathematics. — Mathematical Association of America, 1997. — Т. 13. — С. 87. — (New Mathematical Library) — .
H. Brocard. Note sur la division mécanique de l'angle // Bulletin de la Société Mathématique de France. — 1877. — Vol. 5 (8 juillet). — P. 43–47.
Par M. Glotin. Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux. — 1863. — Т. 2. — С. 253–278.
George E. Martin. PREFACE // Geometric Constructions. — Springer, 1998. — (Undegraduate Texts in Mathematics) — .

Посилання

Trisection using special tools: «Tomahawk», Takaya Iwamoto, 2006, демонстрація інструмента «томагавк», виготовленого з прозорого вінілу, і порівняння точності з іншими трисекторами
Weisstein, Eric W. Томагавк(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Construction heptagon with tomahawk, animation

[FOOTNOTEYates1941278–293-1] Yates, 1941, с. 278–293.

[FOOTNOTEGardner1975262–263-2] Gardner, 1975, с. 262–263.

[FOOTNOTEDudley199614–16-3] Dudley, 1996, с. 14–16.

[FOOTNOTEAlsina,_Nelsen2010147–148-4] Alsina, Nelsen, 2010, с. 147–148.

[FOOTNOTEMeserve1982244-5] Meserve, 1982, с. 244.

[FOOTNOTEIsaacs2009209–210-6] Isaacs, 2009, с. 209–210.

[FOOTNOTEEves1995191-7] Eves, 1995, с. 191.

[FOOTNOTEWantzel1837366–372-8] Wantzel, 1837, с. 366–372.

[9] Слово «невсіс» Ла Нейв і Мазур (La Nave, Mazur, 2002) описали в значенні «сімейство побудов, які залежать від одного параметра». У цих побудовах за зміни параметра відбуваються деякі комбінаторні зміни в побудові. Ла Нейв і Мазур описують трисекцію, відмінну від використання томагавка, але той самий опис підходить і тут — ручка томагавка поміщається на вершину кута, параметризація виконується позицією вершини вістря томагавка на промені, що дає сімейство побудов, у якому відносне положення леза та його променя змінюються, доки вістря не потрапить у потрібне місце.

[FOOTNOTEAaboe199787-10] Aaboe, 1997, с. 87.

[FOOTNOTEBrocard187743–47-11] Brocard, 1877, с. 43–47.

[FOOTNOTEGlotin1863253–278-12] Glotin, 1863, с. 253–278.

[FOOTNOTEMartin1998-13] Martin, 1998.

[14] Дадлі (Dudley, 1996) помилково написав ці імена як Bricard і Glatin.