Тессаріни

таблиця множення

	i	j	k
i	−1	k	−j
j	k	1	i
k	−j	i	−1

Тессаріни (англ. tessarines, від грец. τεσσαρίνες — четвірні) — чотиривимірні гіперкомплексні числа виду ${\displaystyle \ a+bi+cj+dk,}$ де

${\displaystyle \ a,b,c,d}$ — дійсні числа,

${\displaystyle \ i,j,k}$ — уявні одиниці.

для яких виконується

${\displaystyle ij=ji=k,\quad i^{2}=-1,\quad j^{2}=+1.}$

Тессарін можна записати у вигляді ${\displaystyle \ (a+bi)+(c+di)j=A+Bj,}$ де

${\displaystyle \ A,B}$— комплексні числа.

Історія

Введені в 1848 в статтях до Philosophical Magazine.

Тесаріни більш відомі через іх підалгебру дійсних тесарінів ${\displaystyle t=a+bj\ }$, відомих під назвою подвійних чисел.

Властивості

• комутативність
• асоціативність

Ізоморфізм з бікомплексними числами

Перепозначивши:

${\displaystyle {\begin{matrix}i_{1}&\to &i\\i_{2}&\to &k\\j&\to &-j\end{matrix}}}$

Отримаємо бікомплексні числа.

Діагональний базис

В тессарінів, як і в подвійних числах, присутня уявна одиниця ${\displaystyle \ j^{2}=+1,}$ отже, також існують два ортогональні ідемпотентні елементи:

${\displaystyle e_{1}={1-j \over 2},\quad e_{2}={1+j \over 2}\qquad \Rightarrow \qquad {\begin{cases}e_{1}e_{1}=e_{1}\\e_{2}e_{2}=e_{2}\\e_{1}e_{2}=0\end{cases}},}$

які можна використати як альтернативний базис:

${\displaystyle \ A+Bj=(A-B)e_{1}+(A+B)e_{2}={\Big (}a-c+(b-d)i{\Big )}e_{1}\;+\;{\Big (}a+c+(b+d)i{\Big )}e_{2}={\tilde {A}}e_{1}+{\tilde {B}}e_{2}}$

У даному базисі додавання, множення та ділення обчислюються покомпонентно. Ділення не визначене коли ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ чи ${\displaystyle {\tilde {B}}}$ рівні нулю.

Примітки

1. in London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine, series 3
   • 1848 On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra, 33:435–9.
   • 1849 On a New Imaginary in Algebra 34:37–47.
   • 1849 On the Symbols of Algebra and on the Theory of Tessarines 34:406–10.
   • 1850 On the True Amplitude of a Tessarine 36:290-2.
   • 1850 On Impossible Equations, on Impossible Quantities and on Tessarines 37:281–3.