Теорема обертання Ейлера

Теорема обертання Ейлера стверджує, що будь-яке обертання тривимірного простору має вісь.

Обертання представлене віссю та кутом Ейлера.

Таким чином, обертання може бути описано трьома координатами: двома координатами осі обертання (наприклад, широта та довгота) і кутом повороту навколо осі.

Для заданого одиничного вектора ${\displaystyle n}$ і кута ${\displaystyle \varphi }$ позначимо ${\displaystyle R(\varphi ,n)}$ обертання в напрямку вектора ${\displaystyle n}$ проти годинникової стрілки на кут ${\displaystyle \varphi }$. Тоді:

• ${\displaystyle R(0,n)}$ — тотожне відображення для будь-якого ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle R(\varphi ,n)=R(-\varphi ,n)}$
• ${\displaystyle R(\pi +\varphi ,n)=R(\pi -\varphi ,-n)}$

Для будь-якого обертання існує єдиний кут ${\displaystyle \varphi }$, для якого ${\displaystyle 0\leqslant \varphi \leqslant \pi }$, при цьому:

• ${\displaystyle n}$ визначається однозначно, якщо ${\displaystyle 0<\varphi <\pi }$;
• ${\displaystyle n}$ будь-яке, коли ${\displaystyle \varphi =0}$;
• ${\displaystyle n}$ визначається однозначно з точністю до знака, якщо ${\displaystyle \varphi =\pi }$ (тобто, обертання ${\displaystyle R(\varphi ,\pm n)}$ однакові).

Конструкція до теореми про обертання сфери. Ейлерові кути — [ψ,θ,φ]. Синій контур прикріплений до нерухомої сфері (початковий стан). Червоний контур кріпиться до обертаємої сфери (кінцевий стан). Перетин площин визначає нерухому вісь, яка йде в напрямку точки A. Дуги Aa та Aα повинні бути рівними.

Геометрія групи обертань

Подання Ейлера дозволяє досліджувати топологію групи обертань тривимірного евклідового простору — SO(3). Для цього розглянемо кулю з центром на початку координат з радіусом ${\displaystyle \pi }$.

Будь-яке обертання на кут, менший ${\displaystyle \pi }$, задає єдину точку всередині кулі (напрямок задає напрямок осі обертання, а кут задає відстань від початку координат). Обертання на кут ${\displaystyle \pi }$ відповідає двом протилежним точкам на поверхні сфери.

Таким чином, куля з ототожненими протилежними точками сфери гомеоморфна групі обертань простору SO(3).

Див. також

• Група обертань SO(3)
• Формула повороту Родрігеса
• Перелік об'єктів, названих на честь Леонарда Ейлера