Теорема Ріба про стійкість

Немає цієї сторінки; ймовірно, її ще не перевіряли на відповідність правилам проекту.

Теорема Ріба про стійкість стверджує, що якщо шарування корозмірності один має замкнутий шар із скінченною фундаментальною групою, то всі його шари замкнуті і мають скінченну фундаментальну групу. Доведена французьким математиком Жоржем Рібом.

Теорема Ріба про стійкість

Теорема: Нехай ${\displaystyle F}$ гладке (класа ${\displaystyle C^{1}}$) шарування корозмірності ${\displaystyle k}$ на многовиді ${\displaystyle M}$ і ${\displaystyle L}$ компактний шар із скінченною . Тоді всякий трубчастий окіл шару ${\displaystyle L}$ містить менший окіл ${\displaystyle U}$, що складається з цілих шарів шарування ${\displaystyle F}$ (т.з. насичений окіл), всі шари якого є компактними і мають кінцеву групу голономіі. Більш того, визначена ретракція ${\displaystyle \pi :U\to L}$ такая, что для каждого слоя ${\displaystyle L'\subset U}$, отображение ${\displaystyle \pi |_{L'}:L'\to L}$ є скінченнолистним накриттям и для каждой точки ${\displaystyle y\in L}$, прообраз ${\displaystyle \pi ^{-1}(y)}$ диску ${\displaystyle D^{k}}$ і трансверсален шарам ${\displaystyle F}$.

Зокрема, якщо шар ${\displaystyle L}$ (однозв'язний), то він має насичений окіл, шарування у якому дифеоморфно шаруванню ${\displaystyle \{L\times t\}}$ добутку ${\displaystyle L\times D^{k}}$.

Теорема також може бути сформульована для некомпактного шару.

Теорема Ріба про глобальної стабільності

У теорії шарувань вельми цікавим є питання про те, як наявність у шарування компактного шару впливає на глобальну структуру шарування. Для деяких класів шарувань ця задача має розв'язок.

Теорема: Нехай ${\displaystyle F}$ гладке (класа ${\displaystyle C^{1}}$) шарування корозмірності 1 на замкнутоу многовиді ${\displaystyle M}$. Якщо ${\displaystyle F}$ має компактний шар ${\displaystyle L}$ із скінченною фундаментальною групою, то всі шари ${\displaystyle F}$ також є компактними і мають скінченну фундаментальну групу. Якщо шарування ${\displaystyle F}$ трансверсально орієнтовано, то кожен шар ${\displaystyle F}$ дифеоморфен ${\displaystyle L}$; при цьому многовид ${\displaystyle M}$ є ${\displaystyle f:M\to S^{1}}$ над колом ${\displaystyle S^{1}}$ із шаром ${\displaystyle L}$.

Ця теорема вірна також і для многовиду з краєм, за умови, що шарування дотикаєтьсядо деяких компонент границі, а іншим трансверсально.. У цьому випадку, з неї випливає теорема Ріба про сферу.

Теорема Ріба про глобальну стабільність невірна для слоїнь коразмірності більшої за одиницю. Одначе, для деяких спеціальних класів слоїнь справедливі аналогічні результати:

• При наличии специальной трансверсальной структуры: Теорема: Нехай ${\displaystyle F}$ повне конформне шарування корозмірності ${\displaystyle k\geq 3}$ на зв'язному многовиді ${\displaystyle M}$. Якщо ${\displaystyle F}$ має компактний шар із скінченною , то всі шари ${\displaystyle F}$ є компактними і мають скінченну групу голономії.
• Для голоморфних шарувань на : Теорема: Нехай ${\displaystyle F}$ голоморфне шарування корозмірності ${\displaystyle k}$ на компактному комплексному келеровому многовиді. Якщо ${\displaystyle F}$ має компактний шар із скінченною групою голономії, то всі шари ${\displaystyle F}$ є компактними та мають скінченну групу голономії.

Література

• И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.
• Д. Б. Фукс. Слоения — Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151—213 [5]

Примітки

1. G. Reeb, G. Reeb (1952). Sur certaines propriétés toplogiques des variétés feuillétées. Actualités Sci. Indust. Т. 1183. Paris: Hermann.
2. T.Inaba, ${\displaystyle C^{2}}$ Reeb stability of noncompact leaves of foliations,— Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 59:158{160, 1983[1]
3. J. Cantwell and L. Conlon, Reeb stability for noncompact leaves in foliated 3-manifolds, — Proc. Amer.Math.Soc. 33 (1981), no. 2, 408—410.[2] [Архівовано 21 жовтня 2012 у Wayback Machine.]
4. C. Godbillon, Feuilletages, etudies geometriques, — Basel, Birkhauser, 1991
5. W.T.Wu and G.Reeb, Sur les éspaces fibres et les variétés feuillitées, — Hermann, 1952.
6. R.A. Blumenthal, Stability theorems for conformal foliations, — Proc. AMS. 91, 1984, p. 55- 63. [3] [Архівовано 21 жовтня 2012 у Wayback Machine.]
7. J.V. Pereira, Global stability for holomorphic foliations on Kaehler manifolds, — Qual. Theory Dyn. Syst. 2 (2001), 381—384. [4]