Теорема Рунге (також апроксимаційна теорема Рунге) в комплексному аналізі — твердження про можливість рівномірного наближення голоморфної функції раціональними функціями або многочленами. Доведена німецьким математиком Карлом Рунге у 1885 році.
Формулювання
Позначимо Нехай — компактна підмножина і голоморфна функція в визначена на відкритій множині, що містить Якщо — множина, що містить по одній точці з кожної компоненти зв'язності множини для кожного існує раціональна функція, що має полюсами в множині і для якої .
Звідси зокрема випливає, що при тих же умовах і позначеннях, що і вище для функції існує послідовність функцій що рівномірно на збігаються до
Якщо — відкрита множина то також довільна голоморфна на функція може бути рівномірно на компактних підмножинах наближеною раціональними функціями.
Наслідки
- Якщо і множина є зв'язною то взявши з теореми Рунге можна отримати наступний результат, який теж часто називається теоремою Рунге:
- Якщо при вказаних умовах функція є голоморфною на відкритій множині, що містить тоді для кожного існує многочлен , для якого .
- Дане твердження може бути перефразованим для відкритих зв'язних множин таких, що є зв'язною множиною. В цьому випадку рівномірно наближається поліномами на всіх компактних підмножинах в Множина є зв'язною разом із своїм доповненням тоді і тільки тоді, коли множина є однозв'язною. Натомість якщо взяти то функцію не можна апроксимувати на компактах многочленами.
- Тому можна перефразувати попередні результати як: для зв'язної множин довільну голоморфну на функцію можна наблизити многочленами рівномірно на компактах тоді і тільки тоді коли множина є однозв'язною.
Посилання
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), theorem Runge theorem, Математична енциклопедія, , ISBN
Джерела
- Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of One Complex Variable (вид. 2nd), American Mathematical Society, ISBN
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Runge takozh aproksimacijna teorema Runge v kompleksnomu analizi tverdzhennya pro mozhlivist rivnomirnogo nablizhennya golomorfnoyi funkciyi racionalnimi funkciyami abo mnogochlenami Dovedena nimeckim matematikom Karlom Runge u 1885 roci FormulyuvannyaPoznachimo C C displaystyle hat mathbb C mathbb C cup infty Nehaj K C displaystyle K subset mathbb C kompaktna pidmnozhina i f z displaystyle f z golomorfna funkciya v viznachena na vidkritij mnozhini sho mistit K displaystyle K Yaksho A displaystyle A mnozhina sho mistit po odnij tochci z kozhnoyi komponenti zv yaznosti mnozhini C K displaystyle hat mathbb C setminus K dlya kozhnogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 isnuye racionalna funkciya sho maye polyusami v mnozhini A displaystyle A i dlya yakoyi supz K f z r z lt e displaystyle sup z in K f z r z lt varepsilon Zvidsi zokrema viplivaye sho pri tih zhe umovah i poznachennyah sho i vishe dlya funkciyi f z displaystyle f z isnuye poslidovnist funkcij fi z displaystyle f i z sho rivnomirno na K displaystyle K zbigayutsya do f z displaystyle f z Yaksho U C displaystyle U subset mathbb C vidkrita mnozhina to takozh dovilna golomorfna na U displaystyle U funkciya f z displaystyle f z mozhe buti rivnomirno na kompaktnih pidmnozhinah nablizhenoyu racionalnimi funkciyami NaslidkiYaksho K C displaystyle K subset mathbb C i mnozhina C K displaystyle hat mathbb C setminus K ye zv yaznoyu to vzyavshi A displaystyle A infty z teoremi Runge mozhna otrimati nastupnij rezultat yakij tezh chasto nazivayetsya teoremoyu Runge Yaksho pri vkazanih umovah funkciya f z displaystyle f z ye golomorfnoyu na vidkritij mnozhini sho mistit K displaystyle K todi dlya kozhnogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 isnuye mnogochlen p z displaystyle p z dlya yakogo supz K f z p z lt e displaystyle sup z in K f z p z lt varepsilon Dane tverdzhennya mozhe buti perefrazovanim dlya vidkritih zv yaznih mnozhin U C displaystyle U subset mathbb C takih sho C U displaystyle hat mathbb C setminus U ye zv yaznoyu mnozhinoyu V comu vipadku f z displaystyle f z rivnomirno nablizhayetsya polinomami na vsih kompaktnih pidmnozhinah v U displaystyle U Mnozhina U displaystyle U ye zv yaznoyu razom iz svoyim dopovnennyam C U displaystyle hat mathbb C setminus U todi i tilki todi koli mnozhina U displaystyle U ye odnozv yaznoyu Natomist yaksho vzyati U C 0 displaystyle U mathbb C setminus 0 to funkciyu f z 1z displaystyle f z frac 1 z ne mozhna aproksimuvati na kompaktah mnogochlenami Tomu mozhna perefrazuvati poperedni rezultati yak dlya zv yaznoyi mnozhin U C displaystyle U subset mathbb C dovilnu golomorfnu na U displaystyle U funkciyu f z displaystyle f z mozhna nabliziti mnogochlenami rivnomirno na kompaktah todi i tilki todi koli mnozhina U displaystyle U ye odnozv yaznoyu PosilannyaHazewinkel Michiel red 2001 theorem Runge theorem Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4DzherelaGreene Robert E Krantz Steven G 2002 Function Theory of One Complex Variable vid 2nd American Mathematical Society ISBN 0 8218 2905 X