В геометрії Евкліда теорема Ньютона стверджує, що в кожному описаному чотирикутнику, крім ромба, центр вписаного кола лежить на прямій Ньютона.
Нехай ABCD — описаний чотирикутник, що має не більше однієї пари паралельних сторін. Крім того, нехай E і F — середини його діагоналей AC і BD, а точка P — центр вписаного кола. Тоді точка P розташована на прямій Ньютона, тобто прямій EF, що з'єднує середини діагоналей.
Описаний чотирикутник з двома парами паралельних сторін є ромбом. У цьому випадку середини діагоналей, як і центр вписаного кола, збігаються, і за визначенням не існує прямої Ньютона.
Теорему Ньютона легко отримати з теореми Енна, враховуючи, що в описаних чотирикутниках сума двох протилежних сторін дорівнює сумі двох інших сторін (теорема Піто: a + c = b + d). Тепер, відповідно до теореми Енна, сума площ трикутників PAD і PBC та сума площ трикутників PAB і PCD рівні, а цього достатньо для того, щоб точка P лежала на прямій EF.
Нехай r — радіус вписаного кола, тоді r — також висота всіх чотирьох трикутників. Тоді
Узагальнення
Існує певне узагальнення теореми Ньютона:
Якщо вписати еліпс в опуклий чотирикутник, то його центр лежить на прямій Ньютона.
Примітки
Література
- Клауді Альсіна, Роджер Б. Нельсен: Чарівні доведення: подорож до елегантної математики. MAA, 2010, , с. 117–118 (online copy на «Google Books»)
- Humenberger, Hans; Schuppar, Berthold (2019), Balanced areas in quadrilaterals – Anne’s Theorem and its unknown origin, т. 17/1, Teaching Mathematics and Computer Science, с. 93—103, doi:10.5485/TMCS.2019.0462
Посилання
- (англ.)Теореми Ньютона та Леона Енна [ 10 листопада 2020 у Wayback Machine.] на cut-the-knot.org
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V geometriyi Evklida teorema Nyutona stverdzhuye sho v kozhnomu opisanomu chotirikutniku krim romba centr vpisanogo kola lezhit na pryamij Nyutona P lezhit na liniyi Nyutona EF Nehaj ABCD opisanij chotirikutnik sho maye ne bilshe odniyeyi pari paralelnih storin Krim togo nehaj E i F seredini jogo diagonalej AC i BD a tochka P centr vpisanogo kola Todi tochka P roztashovana na pryamij Nyutona tobto pryamij EF sho z yednuye seredini diagonalej Opisanij chotirikutnik z dvoma parami paralelnih storin ye rombom U comu vipadku seredini diagonalej yak i centr vpisanogo kola zbigayutsya i za viznachennyam ne isnuye pryamoyi Nyutona Teoremu Nyutona legko otrimati z teoremi Enna vrahovuyuchi sho v opisanih chotirikutnikah suma dvoh protilezhnih storin dorivnyuye sumi dvoh inshih storin teorema Pito a c b d Teper vidpovidno do teoremi Enna suma plosh trikutnikiv PAD i PBC ta suma plosh trikutnikiv PAB i PCD rivni a cogo dostatno dlya togo shob tochka P lezhala na pryamij EF Nehaj r radius vpisanogo kola todi r takozh visota vsih chotiroh trikutnikiv Todi S P A B S P C D 1 2 r a 1 2 r c 1 2 r a c 1 2 r b d 1 2 r c 1 2 r d S P B C S P A D displaystyle begin aligned amp S triangle PAB S triangle PCD 5pt amp tfrac 1 2 ra tfrac 1 2 rc tfrac 1 2 r a c 5pt amp tfrac 1 2 r b d tfrac 1 2 rc tfrac 1 2 rd 5pt amp S triangle PBC S triangle PAD end aligned UzagalnennyaIsnuye pevne uzagalnennya teoremi Nyutona stor 100 Yaksho vpisati elips v opuklij chotirikutnik to jogo centr lezhit na pryamij Nyutona PrimitkiHans Humenberger 2019 LiteraturaKlaudi Alsina Rodzher B Nelsen Charivni dovedennya podorozh do elegantnoyi matematiki MAA 2010 ISBN 9780883853481 s 117 118 online copy na Google Books Humenberger Hans Schuppar Berthold 2019 Balanced areas in quadrilaterals Anne s Theorem and its unknown origin t 17 1 Teaching Mathematics and Computer Science s 93 103 doi 10 5485 TMCS 2019 0462Posilannya angl Teoremi Nyutona ta Leona Enna 10 listopada 2020 u Wayback Machine na cut the knot org