Теорема Кантора — Гейне

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Теорема Кантора (значення).

Теорема Кантора — Гейне в математичному і функціональному аналізі стверджує, що функція, неперервна на компакті, рівномірно неперервна на ньому.

Формулювання

Нехай дано два метричних простори ${\displaystyle (X,\varrho _{X})}$ і ${\displaystyle (Y,\varrho _{Y}).}$ Нехай також дано компактну підмножину ${\displaystyle K\subset X}$ і визначено на ній неперервну функцію ${\displaystyle f\colon K\to Y,f\in C(K).}$ Тоді ${\displaystyle f}$ рівномірно неперервна на ${\displaystyle K.}$.

Доведення  

Скористаємося доведенням від супротивного. Нехай ${\displaystyle f(x)}$ — функція, що відповідає умовам теореми (на компакті ${\displaystyle A}$), але не рівномірно неперервна на ньому. Тоді існує таке ${\displaystyle \varepsilon }$, що для всіх ${\displaystyle \delta >0}$ існують такі ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle y}$, відстань між якими менше ${\displaystyle \delta }$, але відстань між їхніми образами не менше ${\displaystyle \varepsilon }$:

${\displaystyle \exists \epsilon >0\colon \quad \forall \delta >0\ \exists x_{\delta },y_{\delta }\in A\colon \quad d(x,y)<\delta ,}$ але ${\displaystyle d(f(x),f(y))\geqslant \varepsilon .}$

Візьмемо послідовність ${\displaystyle \{\delta _{k}\}}$, що сходяться до 0, наприклад, ${\displaystyle \left\{{\frac {1}{k}}\right\}}$. Побудуємо послідовності ${\displaystyle x_{k}}$ і ${\displaystyle y_{k}}$ так, щоб

${\displaystyle d(x_{k},y_{k})<{\frac {1}{k}}}$, тоді ${\displaystyle d(f(x_{k}),f(y_{k}))>\varepsilon }$

${\displaystyle A}$ — компакт, тому можна виділити збіжні послідовності:

${\displaystyle x_{k_{j}}\to {\bar {x}}\in A,\quad y_{k_{j}}\to {\bar {y}}\in A.}$

Але так як відстань між ними прагне до нуля, по лемі про вкладені відрізки вони прагнуть до однієї точки: ${\displaystyle {\bar {x}}={\bar {y}}=\zeta }$. І, так як ${\displaystyle f}$ неперервна ${\displaystyle f(x_{k_{j}}\to \zeta ),\quad f(y_{k_{j}}\to \zeta )\Rightarrow d(f(x_{k_{j}}),f(y_{k_{j}}))\to 0}$, що суперечить припущенню, що ${\displaystyle d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon }$. Тому, функція, неперервна на компакті, дійсно рівномірно неперервна на ньому.

Зауваження

• Зокрема, неперервна дійснозначна функція, визначена на відрізку, ${\displaystyle f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ рівномірно неперервна на ньому.
• В умовах теореми компакт не можна замінити на довільну відкриту множину. Наприклад, функція

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}},\;x\in (0,1)}$

неперервна на всій області визначення, але не є рівномірно неперервною.

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)