Ця стаття містить правописні, лексичні, граматичні, стилістичні або інші мовні помилки, які треба виправити. |
Струмінь відображення на многовиді — це операція, що співставляє кожній точці із деякий поліном (обрізаний (поліном Тейлора) в точці ). З точки зору теорії струменів ці поліноми розглядаються не як поліноміальні функції, а як абстрактні алгебричні (багаточлени), що залежать від точки многовиду.
Два відображення мають однаковий -струмінь у точці якщо та якщо у будь-якій локальній карті у окілі точки розклади у ряд Тейлора функцій та збігаються до порядку включно. Клас еквівалентності, який визначається відображенням , позначається Сукупність усіх -струменів утворює многовид струменів , де координата на й довільна локальна карта на визначають деяку систему координат на
Многовидом 1-струменів функцій на називається многовид із контактною 1-формою (де — форма дії на фазовому просторі a — координата). Наприклад, якщо є окружністю, то многовид є дифеоморфним (повноторію) (внутрішності двохвимірного тору). На цьому многовиді визначені координати ().Лежандровим підмноговидом є підмноговид, на якому контактна 1-форма перетворюється на нуль. Наприклад, будь-якій функції відповідає лежандровий переріз розшарування , задане формулами
Многовид залежить лише від функції а не від вибору локальної карти; ця формула зіставляє точці кодотичний вектор та число Вкладений лежандровий підмноговид є квазіфункцією на якщо він належить компоненті зв'язності нульового перерізу () у просторі вкладених лежандрових підмноговидів многовиду 1-струменів функцій на Проєкція квазіфункції з простору 1-струменів у фазовий простір (при натуральному відображенні забування значення функції) є точним лагранжевим підмноговидом у Цей підмноговид може виявитися не вкладеним, а лише зануреним у (самопересічним). Усілякий точний лагренжевий підмноговид , занурений до отримується цим способом з деякого лежандрового многовиду (який є визначеним із точністю до зсувів осі якщо є зв'язним). Однак, може бути лише зануреним (самопересічним у (2n+1)-вимірному многовиді струменів ).
Теорема Чеканова
Нехай —
-квазіфункція. Тоді число точок самоперетину проєкції
у
загального положення не менше, ніж
Квазіфункція на окружності має не менше двох квазікритичних точок. Проєкції усіх лежандрових вузлів із компоненти, яка містить
у
мають принаймні три точки самоперетину із врахуванням кратності. Достатньо у процесі гомотопії припустити один самоперетин, і можна отримати лежандровий многовид
гомотопний у класі лежандрових вкладень многовиду
у якого одна точка самоперетину проєкції у
Струмені на еклідовому просторі
Аналітичне означення
Струмені і простори струменів можуть бути означені, використовуючи принципи математичного аналізу. Означення можна узагальнити на гладкі відображення між банаховими просторами, аналітичними функціями у дійсній або комплексній області, на -адичний аналіз тощо.
Нехай — гладкі многовиди. Гладкі відображення
є
-еквівалентними у точці
якщо
та у цій точці частинні похідні до порядку
включно є однаковими. Це визначення є інваріантним відносно вибору локальних координат як у
так й у
тому воно визначає геометричний об'єкт — струмінь відображення. Конкретніше, струмінь порядку
, який задається відображенням
є класом еквівалентності відображень по відношенню
Точка
є початком струменя, а її образ
— кінцем струменя. Множина
-струменів, імерсійованих до
з початком
та кінцем
позначається
Множина -струменів утворює диференціальну групу порядку
у точці
усеможливих дифеоморфізмів окілів цієї точки, залишаючих її нерухомою. Таким чином,
є групою із добутком, який визначається композицією струменів:
Ідемпотент цієї групи є струменем тотожного відображення. Зворотним елементом до є
-струмінь дифеоморфізму, зворотного до
Репером
порядку
у точці
многовиду
є
-струмінь
дифеоморфізму
де
та
— окіли точок
та
відповідно.
Многовид усіх
-реперів наділений структурою головного розшарування над базою
із канонічною проєкцією
де
та праводіючою диференціальною групою
порядку
. Стандартні координати у
породжують глобальну карту на
із координатами
симетричними по нижнім індексам.
Нехай На асоційованому розшаруванні визначена лівостороння дія групи
за законом композиції 2-струменів:
На декартовому добутку визначена правостороння дія цієї групи:
Многовид орбіт відносно даної дії є розшаруванням над
асоційованим із
канонічна проєкція
з
на
визначається за законом
а дія групи на розшаруванні
визначається як
Примітки
- Ф.Гриффитс. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление.
- П. Е. Пушкарь, Обобщение теоремы Чеканова. Диаметры иммерсированных многообразий и волновых фронтов, Тр. МИАН, 1998, том 221, 289–304.
- А.В.Кулешов - Конструкция пункторов Веблена-Томаса в терминах струй Эресмана.
Література
- Виноградов А., Красильщик И., Лычагин В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. — М : Наука, 1986.
- [en], Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians, arXiv: 0908.1886
![]() | Це незавершена стаття з геометрії. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет