Статистика Петуніна

Статистика Петуніна (p-статистика) — міра близькості між вибірками, запропонована українським математиком Юрій Петуніним. Використовується для перевірки гіпотези про рівність функцій розподілу двох вибірок.

Розглянемо дві генеральні сукупності ${\displaystyle G}$ та ${\displaystyle G'}$ та відповідні функції розподілу ${\displaystyle F_{G}}$ та ${\displaystyle F_{G'}}$. Нехай ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in {G}}$ та ${\displaystyle x=({x'}_{1},{x'}_{2},...,{x'}_{m})\in {G'}}$, а ${\displaystyle {x}_{(1)}\leq {x}_{(2)}\leq ...\leq {x}_{(n)}}$ та ${\displaystyle {x'}_{(1)}\leq {x'}_{(2)}\leq ...\leq {x'}_{(m)}}$ — відповідні порядкові статистики. Припустимо, що ${\displaystyle F_{G}(u)=F_{G'}(u)}$, тоді

${\displaystyle p(A_{ij})=P({x'}_{k}\in (x_{(i)},x_{(j)}))=p_{ij}={\frac {j-i}{n+1}}}$.

Якщо маємо вибірку ${\displaystyle {x'}\in ({x'}_{(1)},{x'}_{(2)},...,{x'}_{(m)})}$, можемо знайти частоту ${\displaystyle h_{ij}}$ випадкові події ${\displaystyle A_{ij}}$ та довірчі інтервали ${\displaystyle ({p}_{ij}^{(1)},{p}_{ij}^{(2)})}$ для ймовірності ${\displaystyle p_{ij}}$ при заданому рівні значущості ${\displaystyle \beta }$, тобто ${\displaystyle B=\{p_{ij}\in ({p}_{ij}^{(1)},{p}_{ij}^{(2)})\},p(B)=1-\beta }$. Згідно з

${\displaystyle p_{ij}^{(1)}={\frac {h_{ij}m+{\frac {g^{2}}{2}}-{g}{\sqrt {h_{ij}(1-h_{ij})m+{\frac {g^{2}}{4}}}}}{m+g^{2}}}}$

${\displaystyle p_{ij}^{(2)}={\frac {h_{ij}m+{\frac {g^{2}}{2}}+{g}{\sqrt {h_{ij}(1-h_{ij})m+{\frac {g^{2}}{4}}}}}{m+g^{2}}}}$

,

де ${\displaystyle g}$ задовольняє умову ${\displaystyle \phi (g)=1-{\frac {\beta }{2}}}$ (${\displaystyle \phi (g)}$ — щільність нормального розподілу). Згідно з покладемо ${\displaystyle g=3}$.

Позначимо через ${\displaystyle N}$ всі довірчі інтервали ${\displaystyle I_{ij}=(p_{ij}^{(1)},p_{ij}^{(2)})}$ (${\displaystyle N={\frac {n(n-1)}{2}}}$) та ${\displaystyle L}$ — число інтервалів ${\displaystyle I_{ij}}$, які містять ймовірність ${\displaystyle p_{ij}}$, тобто ${\displaystyle p_{ij}\in {I_{ij}}}$. Покладемо

${\displaystyle h=\rho (x,x')={\frac {L}{N}}}$

Статистика ${\displaystyle h}$ називається p-статистикою (статистикою Петуніна), вона є мірою близькості ${\displaystyle \rho (x,x')}$ між вибірками ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle x'}$.

Примітки

1. . Van der Waerden B.L. Mathematische Statistic. — Springer-Verlag, Berlin, 1957; English. transl. of 2nd (1965) ed. Springer-Verlag, Berlin and New York, 1969
2. Петунін Ю. І., Клюшин Д. А., Ганіна К. П., Бородай Н. В., Андрушків Р. І. Комп'ютерна діагностика раку молочної залози // Вісник Київського університету. Сер. кібернетика. — 2001. —- Вип. 2. — С. 58-68.

Джерела

• Клюшин Д. А., Петунин Ю. И. Непараметрический критерий эквивалентности генеральных совокупностей, основанный на мере близости между выборками // Український математичний журнал. — 2003. — т.55, № 2. — С.147-163. (рос.)