Розподіл Накаґамі

Розподіл Накаґамі — розподіл імовірностей випадкової величини ${\displaystyle \displaystyle X}$, що відноситься до Гамма-розподілу. Характеризується двома параметрами: параметр форми ${\displaystyle m\geq 1/2}$, та параметр, що контролює статистичну дисперсію ${\displaystyle \Omega >0}$.

Розподіл Накаґамі
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	${\displaystyle m\ or\ \mu \geq 0.5}$ форма (дійсний) ${\displaystyle \Omega \ or\ \omega >0}$ дисперсія (дійсна)
Носій функції	${\displaystyle x>0\!}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\Omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right)}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle {\frac {\gamma \left(m,{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right)}{\Gamma (m)}}}$
Середнє	${\displaystyle {\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\left({\frac {\Omega }{m}}\right)^{1/2}}$
Медіана	Немає простої закритої форми
Мода	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\left({\frac {(2m-1)\Omega }{m}}\right)^{1/2}}$
Дисперсія	${\displaystyle \Omega \left(1-{\frac {1}{m}}\left({\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\right)^{2}\right)}$

Властивості

Щільність розподілу обчислюється за формулою:

${\displaystyle f(x;\,m,\Omega )={\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\Omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right)}$ ${\displaystyle \quad \forall x\geq 0~~(m\geq 1/2,{\text{ and }}\Omega >0),}$

де ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — гамма-функція.

Відповідна функція розподілу ймовірностей має вигляд:

${\displaystyle F(x;\,m,\Omega )=P\left(m,{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right)}$

де ${\displaystyle P}$ — неповна гамма-функція.

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини з розподілом Накаґамі виражається як:

${\displaystyle mu(X)={\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\left({\frac {\Omega }{m}}\right)^{1/2}}$

і

${\displaystyle {\textrm {var}}(X)=\Omega \left(1-{\frac {1}{m}}\left({\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\right)^{2}\right)}$

Оцінка параметрів

Параметри ${\displaystyle m}$ та ${\displaystyle \Omega }$ оцінюються наступним образом:

${\displaystyle m={\frac {\operatorname {E} ^{2}\left[X^{2}\right]}{\operatorname {Var} \left[X^{2}\right]}},}$

та

${\displaystyle \Omega =\operatorname {E} \left[X^{2}\right].}$

Див. також

• Розподіл Рейлі

Примітки

1. Laurenson, Dave (1994). Nakagami Distribution. Indoor Radio Channel Propagation Modelling by Ray Tracing Techniques. Архів оригіналу за 30 вересня 2012. Процитовано 4 серпня 2007.
2. R. Kolar, R. Jirik, J. Jan (2004) ^{[недоступне посилання — історія]}, Radioengineering, 13 (1), 8-12