Регресія Пуассона

У статистиці регресія Пуассона — узагальнена лінійна модель регресійного аналізу, який використовують для моделювання даних та таблиць непередбачених ситуацій. Регресія Пуассона передбачає, що залежна змінна Y має розподіл Пуассона, і припускає, що логарифм її математичного сподівання може бути змодельоване лінійною комбінацією невідомих параметрів. Модель регресії Пуассона іноді називається лог-лінійною моделлю, особливо якщо вона використовується для моделювання таблиці непередбачених ситуацій.

Негативна біноміальна регресія є узагальненням регресії Пуассона, оскільки вона послаблює сильне припущення, що дисперсія дорівнює середньому значенню, зробленому в моделі Пуассона. Традиційна негативна біноміальна регресійна модель, широко знана як NBA. Вона базується на Пуассон-гамма суміш розподілі. Ця модель популярна, оскільки вона моделює гетерогенність Пуассона за допомогою гамма-розподілу.

Регресійні моделі

Якщо ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ є вектором незалежних змінних, то модель приймає форму

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} ))=\alpha +\mathbf {\beta } '\mathbf {x} ,}$

де ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ і ${\displaystyle \mathbf {\beta } \in \mathbb {R} ^{n}}$.Також цю формулу можна записати як

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} ))={\boldsymbol {\theta }}'\mathbf {x} ,\,}$

де x є (n+1) розмірний вектор, який складається з n незалежних змінних, об'єднаних у вектор одиниць.

Тут θ — це ${\displaystyle \alpha \cup \beta }$.

Таким чином, при заданій регресійній моделі Пуассона θ та вхідному векторі x, передбачуваний середній асоційований розподіл Пуассона, який дано через

${\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} )=e^{{\boldsymbol {\theta }}'\mathbf {x} }.\,}$

Якщо Y_i є незалежним спостереженням з відповідними значеннями x_i змінних предиктора, то θ можна оцінити за максимальною оцінкою правдоподібності. У максимальній оцінці правдоподібності відсутній вираз із замкнутою формою.

Посилання

1. Nelder, J. A. (1974). Log Linear Models for Contingency Tables: A Generalization of Classical Least Squares. Journal of the Royal Statistical Society. Series C (Applied Statistics). Т. 23, № 3. с. 323—329. doi:10.2307/2347125. ISSN 0035-9254. Процитовано 22 листопада 2023.