Проєктивна пряма

У математиці проєктивним простором називають множину елементами якої є прямі (одновимірні підпростори) деякого лінійного простору. Розділ математики, що вивчає проєктивні простори — проєктивна геометрія. Окрім того проєктивні простори застосовуються у алгебраїчній геометрії, теорії еліптичних кривих, топології, комп'ютерній графіці.

Визначення

Прямі евклідова простору, що проходять через початок координат, можна уявити точками проєктивної площини

Нехай ${\displaystyle V_{K}^{n+1}}$ — деякий векторний простір розмірності ${\displaystyle n+1}$ над тілом ${\displaystyle K}$. Тоді проєктивним простором ${\displaystyle P_{K}^{n}}$ розмірності ${\displaystyle n}$ над тілом ${\displaystyle K}$ називається множина класів еквівалентності ${\displaystyle (V_{K}^{n+1}-\{0\})/}$~ де відношення еквівалентності ~ задається таким чином: два ненульові елементи ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V_{K}^{n+1}}$ є еквівалентними тоді і тільки тоді, коли існує ${\displaystyle k\in K}$, такий що ${\displaystyle v_{1}=kv_{2}}$. Іншими словами, два елементи векторного простору є еквівалентними, якщо вони належать одному підпростору розмірності 1 (або, менш формально, лежать на одній прямій). Класи еквівалентності називаються точками проєктивного простору.

У простішому нетривіальному випадку ${\displaystyle P_{R}^{2}}$ визначається як множина прямих тривимірного евклідова простору, що проходять черех початок координат, в цих термінах пряма ${\displaystyle R^{3}}$ є точкою ${\displaystyle P^{2}}$. З топологічної точки зору — це сфера ${\displaystyle S^{2}}$, в якої ототожнені протилежні точки (або напівсфера, в якої ототожнені протилежні точки граничної окружності).

Однорідні координати

У проєктивному просторі ${\displaystyle P_{K}^{n}}$ можна задати координати. Нехай ${\displaystyle x\in P_{K}^{n}}$ — деяка точка проєктивного простору. За визначенням вона є класом еквівалентності елементів векторного простору ${\displaystyle V_{K}^{n+1}}$ (або класом еквівалентності точок відповідного афінного простору). Тоді координати ${\displaystyle (x_{0},x_{1},...,x_{n})}$ якогось із представників цього класу можна прийняти як координати відповідної точки проєктивного простору. З визначень отримується, що координати ${\displaystyle (x_{0},x_{1},...,x_{n})}$ і ${\displaystyle kx_{0},kx_{1},...,kx_{n}}$ (де ${\displaystyle k\in K,\quad k\neq 0}$) визначають одну точку проєктивного простору. Якщо остання координата не рівна нулю координатний запис як правило унормовують так, щоб вона була рівна одиниці.

Афінні і проєктивні простори

Всі точки проєктивного простору можна поділити на дві множини в залежності від того чи рівна остання координата нулю чи ні. Якщо вона не рівна нулю то, як правило використовується такий координатний запис при якому вона рівна одиниці. Тоді можна задати природне вкладення афінного простору ${\displaystyle A_{K}^{n}}$ в проєктивний простір ${\displaystyle P_{K}^{n}}$ визначене ін'єкцією:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{n})\mapsto [x_{1},x_{2},...,x_{n},1]}$

Точки, що не мають прообразу при цьому відображенні (тобто точки виду ${\displaystyle [y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},0]}$) називаються «точками в безмежності». Вони є ${\displaystyle n-1}$- вимірним проєктивним підпростором простору ${\displaystyle P_{K}^{n}}$. Через таке вкладення багато об'єктів афінних просторів мають свої відповідники у проєктивному просторі. Наприклад у випадку афінної і проєктивної площин прямій:

${\displaystyle ax+by+c=0\,}$

відповідає пряма:

${\displaystyle aX+bY+cZ=0\,}$.

Підставивши ${\displaystyle Z=1}$ в дане рівняння легко переконатися, що для всіх точок, що лежать на прямій в афінному випадку, відповідні точки лежать на прямій у проєктивному випадку. Крім того у проєктивному випадку даній прямій належить «точка в безмежності» з координатами ${\displaystyle [-b,a,0]}$. В загальному випадку гіперплощині:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}+a_{n+1}=0\,}$

в афінному просторі відповідає:

${\displaystyle a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+...+a_{n}X_{n}+a_{n+1}X_{n+1}=0\,}$

в проєктивному просторі. Многочлену ${\displaystyle P(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ степеня ${\displaystyle d}$ відповідає однорідний многочлен ${\displaystyle P[X_{1},X_{2},...,X_{n},X_{n+1}]=X_{n+1}^{d}p\left({\frac {X_{1}}{X_{n+1}}},{\frac {X_{2}}{X_{n+1}}},...,{\frac {X_{n}}{X_{n+1}}}\right)}$. На відміну від афінних просторів у проєктивному просторі гіперплощини розмірності ${\displaystyle n}$ заважди перетинаються і перетином є проєктивний підпростір розмірності ${\displaystyle n-1}$. Наприклад якщо дві прямі ${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0}$ і ${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0}$ на афінній площині перетинаються в точці ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ то прямі ${\displaystyle a_{1}X+b_{1}Y+c_{1}Z=0}$ і ${\displaystyle a_{2}X+b_{2}Y+c_{2}Z=0}$ на проєктивній площині перетинаються в точці ${\displaystyle [x_{0},y_{0},1]}$. Якщо ж ці прямі паралельні то проєктивні прямі перетинаються в точці ${\displaystyle [-b_{1},a_{1},0]}$ (або ${\displaystyle [-b_{2},a_{2},0]}$ оскільки у випадку паралельних прямих ці координати позначають одну і ту ж точку). Окрім того, на відміну від афінного простору, проєктивний простір є компактним. Ці та інші властивості роблять проєктивні простори зручнішими ніж афінні у багатьох областях математичних досліджень, зокрема у алгебраїчній геометрії, теорії еліптичних кривих та ін.

Аксіоматика проєктивних просторів

Проєктивний простір також може бути визначений за допомогою наступних аксіом для деякої множини ${\displaystyle P}$(множини точок) і множини ${\displaystyle L}$ підмножин з ${\displaystyle P}$ (множини прямих).

Площина Фано — приклад скінченного проєктивного простору

1. Для довільних точок ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ існує єдина пряма якій належать обидві ці точки.
2. Довільна пряма містить не менше трьох точок.
3. Якщо ${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$,${\displaystyle c}$,${\displaystyle d}$ — відмінні точки і прямі ${\displaystyle ab}$ і ${\displaystyle cd}$ перетинаються, то перетинаються також прямі ${\displaystyle ac}$ і ${\displaystyle bd}$.

Для визначених таким чином об'єктів можна визначити розмірність. Якщо ${\displaystyle P}$ складається з однієї точки то розмірність такого простору рівна 0. Якщо всі точки знаходяться на одній прямій — розмірність рівна 1. Якщо є більше однієї прямої і всі прямі перетинаються — розмірність рівна 2. В інших випадках розмірність більша ніж 2.

Згідно з теоремою Веблена-Юнга дане означення еквівалентне поданим вище для всіх розмірностей окрім розмірності 2, коли всі прямі перетинаються. У випадку розмірності 2 існують об'єкти — недезаргові площини, що не можуть бути визначені через векторні простори над деяким тілом.

Див. також

• Проєктивно розширена числова пряма
• Комплексна проєктивна площина

Посилання

• Проективний простір [ 16 липня 2010 у Wayback Machine.] на сайті PlanetMath

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Топологічні групи. Числа і пов'язані з ними групи і простори. — М. : Наука, 1969. — С. 392. — (Елементи математики)(рос.)
• Артин Э. Геометрическая алгебра // Перевод с английского В. М. Котлова. Под редакцией Л. А. Калужнина. — М.: Наука, 1969. — 283 с. (рос.)
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1986. — 760 с. (рос.)
• Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. — М.: Мир, 1970. — 160 с. (рос.)
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009. — 512 с. — . (рос.)
• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия: Учеб. пособие. — М.: Наука, 1990. — 672 с. — . (рос.)
• Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия // Перевод с английского. — 2-е изд. — М: УРСС, 2004. — 400 с. — . (рос.)
• Beutelspacher Albrecht Rosenbaum, Ute (1998), Projective geometry: from foundations to applications, Cambridge University Press, MR1629468, ; 978-0-521-48364-3. (англ.)
• Casse, Rey Projective Geometry: An Introduction,
• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1974), Projective geometry, Toronto, Ont.: University of Toronto Press, MR0346652, OCLC 977732
• Dembowski, P. (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR0233275
• Greenberg, M.J.; Euclidean and non-Euclidean geometries, 2nd ed. Freeman (1980).
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR0463157, Oxford University Press,
• Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S.; Geometry and the imagination, 2nd ed. Chelsea (1999).