Примарна абелева група

${\displaystyle p}$-примарна (або ${\displaystyle p}$-праймерна) абелева група (де ${\displaystyle p}$ — фіксоване просте число) — абелева група ${\displaystyle (A,+)}$, така, що порядок будь-якого елемента з ${\displaystyle A}$ є степенем ${\displaystyle p}$.

Приклади

• ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{p^{n}},+)}$ — адитивна група класів залишків за модулю ${\displaystyle p^{n}}$ ;
• ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{p}[x],+)}$ — адитивна група кільця многочленів над полем ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.

Властивості

• Будь-яка періодична абелева група (тобто група без елементів нескінченного порядку) розкладається на пряму суму ${\displaystyle p}$-примарних підгруп.

Примарна абелева група ${\displaystyle (A,+)}$ називається елементарною, якщо всі її ненульові елементи мають порядок рівний ${\displaystyle p}$.

• Абелева група ${\displaystyle A}$ є ${\displaystyle p}$-примарною елементарною тоді й лише тоді, коли вона розкладається в пряму суму груп вигляду ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.

${\displaystyle p}$-висотою елемента ${\displaystyle a\in A}$ називають найменше натуральне число ${\displaystyle n}$, таке що ${\displaystyle a\in nA}$. Якщо такого натурального ${\displaystyle n}$ не існує, то елемент ${\displaystyle a}$ має нескінченну ${\displaystyle p}$-висоту.

• Критерій ^[ru]: ${\displaystyle p}$-примарна абелева група ${\displaystyle A}$ є прямою сумою циклічних груп тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle A}$ є об'єднанням зростаючого ланцюжка підгруп

${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \ldots \subseteq A_{n}\subseteq \ldots ,\;\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}=A}$ ,

де ${\displaystyle p}$-висоти ненульових елементів підгруп ${\displaystyle A_{i}}$ менші від фіксованого елемента ${\displaystyle k_{n}}$.

Критерій Кулікова узагальнює теореми ^[ru]:

• Перша теорема Прюфера: Обмежена ${\displaystyle p}$-примарна (періодична) абелева група є прямою сумою циклічних підгруп.
• Друга теорема Прюфера: Зліченна ${\displaystyle p}$-примарна абелева група розкладається в пряму суму циклічних підгруп тоді й лише тоді, коли вона не містить ненульових елементів нескінченної ${\displaystyle p}$-висоти.

Література

• Л. Фукс. Бесконечные абелевы группы. — М. : Мир, 1974, 1977. — Т. 1, 2.
• Л. Я. Куликов. К теории абелевых групп произвольной мощности // Математический сборник. — 1941. — Т. 9, № 1. — С. 165—181.
• H. Prüfer. Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen // Mathematische Zeitschrift. — 1923. — Т. 17, № 1. — С. 35-61.