Правильний тетраедр

Тетра́едр називається правильним, якщо всі його грані — рівносторонні трикутники. У правильного тетраедра всі двогранні кути при ребрах і всі тригранні кути при вершинах рівні.

Тетраедр, натисніть тут для обертання моделі

Тривимірна модель правильного тетраедра

Декартові координати

Правильний тетраедр можна задати координатами його вершин

• (1, 1, 1)
• (-1, −1, 1)
• (-1, 1, −1)
• (1, −1, −1)

довжина ребра в цьому випадку складатиме ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$.

Формули

У правильного тетраедра з довжиною ребра a:

Площа поверхні ${\displaystyle {\sqrt {3}}a^{2}\,\!}$

Об'єм ${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{12}}a^{3}}$

Висота ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}a\,\!}$

Радіус вписаної сфери ${\displaystyle {\frac {\sqrt {6}}{12}}a}$

Радіус описаної сфери ${\displaystyle {\frac {\sqrt {6}}{4}}a}$

Кут нахилу ребра ${\displaystyle \arctan {\sqrt {2}}\approx {\frac {7}{23}}\pi }$

Кут нахилу грані ${\displaystyle \arctan 2{\sqrt {2}}\approx {\frac {29}{74}}\pi }$

Група симетрій — тетраедрична (T_h)

Властивості правильного тетраедра

• В правильний тетраедр можна вписати октаедр, притому чотири (з восьми) грані октаедра будуть суміщено з чотирма гранями тетраедра, всі шість вершин октаедра будуть суміщено з центрами шести ребер тетраедра.
• Правильний тетраедр з ребром х складається з одного вписаного октаедра (у центрі) з ребром х/2 і чотирьох тетраедрів (по вершинам) з ребром х/2.
• Правильний тетраедр можна вписати в куб двома способами, притому чотири вершини тетраедра будуть суміщено з чотирма вершинамі куба. Всі шість ребер тетраедра лежатимуть на всіх шести гранях куба і дорівнюватимуть діагоналі грані-квадрата.
• Правильний тетраедр можна вписати в ікосаедр, притому, чотири вершини тетраедра будуть суміщено з чотирма вершинамі ікосаедра.

У фізичному світі

• Крижані кристали H₂O
• Молекула метану CH₄
• Алмаз, C, — тетраедр з ребром рівним 2,5220 ангстремів
• Флюорит CaF₂, тетраедр з ребром рівним 3,8626 ангстремів
• Сфалерит, ZnS, тетраедр з ребром рівним 3,823 ангстремів

Див. також

• http://geom11klas.blogspot.com/2014/07/blog-post_8356.html