Потік вектора

В математиці, термін потік векторного поля використовується для двох різних понять:

1. Потік векторного поля через гіперповерхню — поверхневий інтеграл другого роду на поверхні ${\displaystyle S}$. За означенням

${\displaystyle \Phi _{F}=\iint \limits _{S}{(\mathbf {F} ,\mathbf {n} )dS}}$

де ${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F(X)} =\{F_{x}(\mathbf {X} ),F_{y}(\mathbf {X} ),F_{z}(\mathbf {X} )\}}$ — векторне поле (чи вектор-функція векторного аргументу — точки простору), ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — одиничний вектор додатної нормалі до поверхні (додатній напрям обирається для орієнтованої поверхні умовно, але однаково для всіх точок — тобто для диференційовної поверхні — так, щоб ${\displaystyle \mathbf {n} }$ був неперервним; для неорієнтованої поверхні це не важливо, оскільки потік через неї завжди дорівнює нулю), ${\displaystyle dS}$ — інфінітозимальний елемент поверхні. В фізиці іноді застосовують позначення

${\displaystyle d\mathbf {S} =\mathbf {n} dS}$

тоді потік записується у вигляді

${\displaystyle \Phi _{F}=\iint \limits _{S}{(\mathbf {F} ,d\mathbf {S} )}=\iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }$

Потік вектора напруженості Ф через майданчик ds - кількість силових ліній, що пронизують цей майданчик ds.

2. Потік векторного поля ${\displaystyle {\vec {A}}}$ — однопараметрична родина дифеоморфізмів ${\displaystyle \Gamma _{t}}$, що визначаються диференційним рівнянням

${\displaystyle d\Gamma _{t}(x)/dt={\vec {A}}(\Gamma _{t}(x)).}$

Фізична інтерпретація

Нехай рух нестисливої рідини одиничної густини задано векторним полем швидкості ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} (x,y,z)}$. Тоді маса рідини, що протече за одиницю часу через поверхню ${\displaystyle S}$ буде дорівнювати потоку векторного поля ${\displaystyle \mathbf {v} }$ через поверхню ${\displaystyle S}$.

Див. також

• Формула Остроградського

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)