Опера́тор Лапла́са — Бельтра́мі (називають іноді оператором Бельтра́мі — Лапла́са або просто оператором Бельтра́мі)- диференціальний оператор другого порядку, що діє в просторі гладких (або аналітичних) функцій на рімановому многовиді .
У координатах де оператор Лапласа — Бельтрамі задають так. Нехай — матриця метричного тензора ріманового многовиду, — обернена матриця і , тоді оператор Лапласа — Бельтрамі має вигляд
Приклади
- У разі, коли
— область в евклідовому просторі зі стандартною метрикою
— одинична матриця, оператор Лапласа-Бельтрамі (*) перетворюється (з точністю до знака) на оператор Лапласа.
- Нехай
і метричний тензор має вигляд
тоді формула (*) набуває вигляду
- Диференціальне рівняння з частковими похідними другого порядку
де оператор
задано формулою (**), можна розв'язати, якщо функції
аналітичні або досить гладкі. Цей факт використовується для доведення існування локальних ізометричних (конформних) координат на поверхні
, тобто доведення того, що кожен двовимірний ріманів многовид локально конформно еквівалентний евклідовій площині.
Примітки
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), гл. 2, параграф 13.
Література
- Розенблюм Г. В., Соломяк М. З., Шубин М. А. Спектральная теория дифференциальных операторов, — Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 64, ВИНИТИ, М., 1989.
- Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье, — М., Мир, 1984.
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Будь-яке видання.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Opera tor Lapla sa Beltra mi nazivayut inodi operatorom Beltra mi Lapla sa abo prosto operatorom Beltra mi diferencialnij operator drugogo poryadku sho diye v prostori gladkih abo analitichnih funkcij na rimanovomu mnogovidi M displaystyle M U koordinatah x1 xn displaystyle x 1 ldots x n de n dim M displaystyle n dim M operator Laplasa Beltrami zadayut tak Nehaj gij displaystyle g ij matricya metrichnogo tenzora rimanovogo mnogovidu gij displaystyle g ij obernena matricya i g det gij displaystyle g det g ij todi operator Laplasa Beltrami maye viglyad i j1g xi gijg xj displaystyle sum i j frac 1 sqrt g frac partial partial x i biggl g ij sqrt g frac partial partial x j biggr qquad PrikladiU razi koli M displaystyle M oblast v evklidovomu prostori zi standartnoyu metrikoyu gij dij displaystyle g ij delta ij odinichna matricya operator Laplasa Beltrami peretvoryuyetsya z tochnistyu do znaka na operator Laplasa Nehaj dim M 2 displaystyle dim M 2 i metrichnij tenzor maye viglyad ds2 E x y dx2 2F x y dxdy G x y dy2 displaystyle ds 2 E x y dx 2 2F x y dxdy G x y dy 2 todi formula nabuvaye viglyadu x F y G xEG F2 y F x E yEG F2 displaystyle frac partial partial x biggl frac F frac partial partial y G frac partial partial x sqrt EG F 2 biggr frac partial partial y biggl frac F frac partial partial x E frac partial partial y sqrt EG F 2 biggr qquad Diferencialne rivnyannya z chastkovimi pohidnimi drugogo poryadku Lf 0 displaystyle Lf 0 de operator L displaystyle L zadano formuloyu mozhna rozv yazati yaksho funkciyi E F G displaystyle E F G analitichni abo dosit gladki Cej fakt vikoristovuyetsya dlya dovedennya isnuvannya lokalnih izometrichnih konformnih koordinat na poverhni M displaystyle M tobto dovedennya togo sho kozhen dvovimirnij rimaniv mnogovid lokalno konformno ekvivalentnij evklidovij ploshini PrimitkiDubrovin B A Novikov S P Fomenko A T Sovremennaya geometriya metody i prilozheniya gl 2 paragraf 13 LiteraturaRozenblyum G V Solomyak M Z Shubin M A Spektralnaya teoriya differencialnyh operatorov Itogi nauki i tehn Ser Sovrem probl mat Fundam napravleniya 64 VINITI M 1989 Trev F Vvedenie v teoriyu psevdodifferencialnyh operatorov i integralnyh operatorov Fure M Mir 1984 Dubrovin B A Novikov S P Fomenko A T Sovremennaya geometriya metody i prilozheniya Bud yake vidannya