Нерівність трикутника Ружі

Нері́вність трику́тника Ружі пов'язує всі попарні множини різниць трьох множин у довільній групі.

Формулювання

Нехай ${\displaystyle (G,+)}$ — група і ${\displaystyle U,V,W\subset G}$.

Тоді ${\displaystyle |U|\cdot |V-W|\leq |V-U|\cdot |U-W|}$, де ${\displaystyle A-B=\left\lbrace {a-b:a\in A,b\in B}\right\rbrace }$.

Нерівність трикутника із додаванням

Є ще одна нерівність, аналогічна нерівності трикутника Ружі, яка, однак, доводиться складніше, ніж класична — з використанням нерівності Плюннеке — Ружі, яку саму доводять зі використанням класичної нерівності Ружі.

${\displaystyle |U|\cdot |V+W|\leq |V+U|\cdot |U+W|}$

Доведення

Розглянемо функцію ${\displaystyle \varphi :(V-U)\times (U-W)\to (V-W)}$, що визначається як ${\displaystyle \varphi (x,y)=x+y}$. Тоді для кожного образу ${\displaystyle v-w\in V-W}$ існує не менше ${\displaystyle |U|}$ різних прообразів вигляду ${\displaystyle (v-u,u-w),u\in U}$. Це означає, що загальна кількість прообразів не менша, ніж ${\displaystyle |V-W||U|}$ . Значить, ${\displaystyle |U||V-W|\leq |V-U||U-W|}$.

Аналогія з нерівністю трикутника

Розглянемо функцію, що визначає «відстань між множинами» в термінах різниці Мінковського:

${\displaystyle \rho (A,B)=\log {\frac {|A-B|}{\sqrt {|A||B|}}}}$

Ця функція не є метрикою, тому що для неї не виконується рівність ${\displaystyle \rho (A,A)=0}$, але вона, очевидно, симетрична, і з нерівності Ружі безпосередньо випливає нерівність трикутника для неї:

${\displaystyle \rho (V,W)\leq \rho (V,U)+\rho (U,W)}$

Наслідки

Підставивши ${\displaystyle V=W=A,U=B}$, отримаємо

${\displaystyle |B|\cdot |A-A|\leq |A-B|^{2}}$

${\displaystyle |A-A|\leq \left({\frac {|A-B|}{|B|}}\right)\cdot |A-B|}$

${\displaystyle |A-B|\leq K\cdot |B|,K\in {\mathbb {R} }\Rightarrow |A-A|\leq K^{2}\cdot |B|}$

Підставивши ${\displaystyle W=-W'}$, отримаємо

${\displaystyle |U|\cdot |V+W'|\leq |V-U|\cdot |U+W'|}$

Підставивши ${\displaystyle U=-U'}$, отримаємо

${\displaystyle |U'|\cdot |V-W|\leq |V+U'|\cdot |U'+W|}$.

Див. також

• Нерівність Плюннеке — Ружі

Примітки

1. М. З. Гараев, Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка [ 2017-12-11 у Wayback Machine.], с. 17
2. Текстовое изложение лекции Харальда Хельфготта в СПбГУ^{[недоступне посилання з Май 2019]}
3. Лекция Харальда Хельфготта в СПбГУ