Нерухоме поле

В абстрактній алгебрі, підкільце нерухомих точок ${\displaystyle R^{f}}$ автоморфізму ${\displaystyle f}$ кільця ${\displaystyle R}$ — це підкільце з нерухомих точок:

${\displaystyle R^{f}=\{r\in R\mid f(r)=r\}.}$

Більш загально, якщо G — дія групи на R, тоді підкільце :

${\displaystyle R^{G}=\{r\in R\mid g\cdot r=r,\,g\in G\}}$

називається нерухомим підкільцем або кільцем інваріантів. В теорії Галуа, де R є полем і G є групою автоморфізмів поля, нерухоме кільце є підполем яке називається нерухоме поле групи автоморфізмів. Див. Основна теорема теорії Галуа.

Разом з , кільце інваріантів є центральним об'єктом в теорії інваріантів.

Приклад

Якщо ${\displaystyle R=k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ — кільце многочленів n змінних і симетрична група ${\displaystyle S_{n}}$ діє на ${\displaystyle R}$ перестановкою змінних, тоді кільце інваріантів ${\displaystyle R^{G}}$ є кільцем симетричних многочленів. Якщо редуктивна алгебрична група G діє на R, тоді описують генератори ${\displaystyle R^{G}}$.

Чотирнадцята проблема Гільберта про доведення скінченнопородженості кільця інваріантів алгебраїчної групиа

Джерела

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
• Зарисский О., Коммутативная алгебра. — Москва : , 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)