Матриці Паулі три 2 2 displaystyle 2 times 2 матриці оператори спіну для часток зі спіном 1 2 σ 1 σ x 0 1 1 0 displaysty

Матриці Паулі — три $2\times 2$ матриці — оператори спіну для часток зі спіном 1/2.

\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

\sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}

\sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

Властивості

Матриці Паулі — ермітові оператори.

Квадрат будь-якої із них є одиничною матрицею.

Слід будь-якої із матриць Паулі дорівнює нулю.

Комутаційні співвідношення

Комутаційні співвідношення для матриць Паулі схожі на комутаційні співвідношення для оператора кутового моменту

[\sigma _{x},\sigma _{y}]=2i\sigma _{z}

[\sigma _{y},\sigma _{z}]=2i\sigma _{x}

[\sigma _{z},\sigma _{x}]=2i\sigma _{y}

Власні значення і власні вектори

Найважливішим для практичного застосування є оператор $\sigma _{z}$ . Його власні значення $\pm 1$ , а власні вектори

{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}

та

{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}

.

Матриця

{\hat {\sigma }}_{+}={\frac {1}{2}}({\hat {\sigma }}_{x}+i{\hat {\sigma }}_{y})

має ту властивість, що

{\hat {\sigma }}_{+}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=0,\qquad {\hat {\sigma }}_{+}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}

тобто вона перетворює один власний вектор у інший. Аналогічно, матриця

{\hat {\sigma }}_{-}={\frac {1}{2}}({\hat {\sigma }}_{x}-i{\hat {\sigma }}_{y})

має ту властивість, що

{\hat {\sigma }}_{-}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=0,\qquad {\hat {\sigma }}_{-}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}

Фізичний сенс цих операторів — перевертання спіна.

Внесок у гамільтоніан

Із врахуванням взаємодії квантовомеханічної частинки зі спіном 1/2 із магнітним полем гамільтоніан для частинки записується у вигляді

{\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+g\mu _{B}{\hat {\mathbf {\sigma } }}\cdot \mathbf {B}

,

де g — g-фактор Ланде, $\mu _{B}$ — магнетон Бора, $\mathbf {B}$ — вектор магнітної індукції, ${\hat {H}}_{0}$ — та частина гамільтоніана, яка не залежить від магнітного поля.

Якщо вибрати систему координат таким чином, щоб магнітне поле було направлене вздовж осі z, то гамільтоніан матиме вигляд

{\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+g\mu _{B}{\hat {\sigma _{z}}}B

.

У такому випадку гамільтоніан частинки комутує із оператором $\sigma _{z}$ і матиме з ним спільні власні вектори. Тоді в магнітному полі енергетичні рівні частинки зі спіном 1/2 розщеплюватимуться на два з енергією $E_{n0}\pm g\mu _{B}H$ , де $E_{n0}$ — це вклад у енергію, зумовлений іншими, не залежними від магнітного поля, взаємодіями.