Лема Адамара

Лема Адамара (англ. Hadamard's lemma) — твердження, що описує будову гладкої дійсної функції. Названа на честь французького математика Жака Адамара.

Нехай ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ — функція класу ${\displaystyle \,C^{r}}$, де ${\displaystyle r\geq 1}$, визначена у випуклому околі ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle 0}$. Тоді існують такі функції ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ класу ${\displaystyle \,C^{r-1}}$, визначені в ${\displaystyle U}$, що для всіх ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in U}$ має місце рівність ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(0)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,g_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ \quad g_{i}(0)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(0).}$

Якщо функція ${\displaystyle f}$ — аналітична, то й функції ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}$ у наведеній вище формулі аналітичні.

Узагальнене формулювання

Лема Адамара може бути сформульована у загальнішій формі, коли частина змінних грає роль параметрів.

Нехай ${\displaystyle f(x,y):\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$ — функція класу ${\displaystyle \,C^{r}}$, де ${\displaystyle r\geq 1}$, визначена на випуклому околі ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle 0}$, при цьому ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ і ${\displaystyle y=(y_{1},\ldots ,y_{m})}$. Тоді існують такі функції ${\displaystyle g_{1}(x,y),\ldots ,g_{n}(x,y):\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$ класу ${\displaystyle \,C^{r-1}}$, визначені в ${\displaystyle U}$, що для всіх ${\displaystyle (x,y)\in U}$ має місце рівність ${\displaystyle f(x,y)=f(0,y)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,g_{i}(x,y),\ \quad g_{i}(0,y)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(0,y).}$

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію ${\displaystyle f(tx,y)=f(tx_{1},\ldots ,tx_{n},y_{1},\ldots ,y_{m})}$, де ${\displaystyle t}$ — додаткова дійсна змінна (параметр). Нехай ${\displaystyle t}$ пробігає значення з відрізку ${\displaystyle [0,1]}$, тоді функція ${\displaystyle \,f(tx,y)}$, що розглядається як функція ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} }$ при кожному фіксованому значенні параметра ${\displaystyle t}$, пробігає в просторі функцій від ${\displaystyle n+m}$ змінних деяку криву з кінцями ${\displaystyle \,f(0,y)}$ и ${\displaystyle \,f(x,y)}$.

Розглядаючи ${\displaystyle \,f(tx,y)}$ як функцію змінної ${\displaystyle t}$, залежну від параметрів ${\displaystyle x\in R^{n}}$ і ${\displaystyle y\in R^{m}}$, і застосувуючи формулу Ньютона—Лейбніца, можна записати:

${\displaystyle f(x,y)-f(0,y)=\int _{0}^{1}{\frac {df(tx,y)}{dt}}\,dt=\int _{0}^{1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(tx,y)\,dt=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x,y),}$

де

${\displaystyle g_{i}(x,y):=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(tx,y)\,dt.}$

Необхідна гладкість функцій ${\displaystyle g_{i}(x,y)\,}$ випливає з відомої теореми про диференціювання інтеграла, що залежить від параметра.

Застосування

Лема Адамара дозволяє отримати низку корисних наслідків, що знаходять застосування в різних розділах математики, в першу чергу, в теорії особливостей.

• За допомогою леми Адамара легко доводиться Лема Морса.

• Інший корисний наслідок леми Адамара (в її узагальненому вигляді) полягає в тому, що якщо росток гладкої функції ${\displaystyle f(x,y_{1},\ldots ,y_{m})}$ обертається в нуль на гіперплощині ${\displaystyle \,x=0}$, то його можна подати у вигляді ${\displaystyle f=x\,g(x,y_{1},\ldots ,y_{m}),}$ де ${\displaystyle \,g}$ — деяка гладка функція.

• Звідси слідує, що для ростка довільної гладкої функції ${\displaystyle f(x,y_{1},\ldots ,y_{m})}$ має місце подання ${\displaystyle f=f_{0}(y_{1},\ldots ,y_{m})+x\,g(x,y_{1},\ldots ,y_{m}),}$ де ${\displaystyle f_{0}=f(0,y_{1},\ldots ,y_{m})}$ і ${\displaystyle \,g}$ — гладкі функції.

• Застосовуючи індукцію, звідси неважко отримати також загальніше представлення:

${\displaystyle f=f_{0}(y_{1},\ldots ,y_{m})+x\,f_{1}(y_{1},\ldots ,y_{m})+\cdots +x^{n}\,f_{n}(y_{1},\ldots ,y_{m})+x^{n+1}\,g(x,y_{1},\ldots ,y_{m}),}$

де ${\displaystyle f_{i}(y_{1},\ldots ,y_{m})}$ и ${\displaystyle \,g}$ — гладкі функції та ${\displaystyle \,n}$ — довільне натуральне число.

Див. також

• Формула Тейлора
• Лема Морса

Джерела

• Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — .(рос.)