Кутова відстань

Кутова відстань ${\displaystyle \theta }$ (також відома як видима відстань) — це кут між двома лініями огляду або між двома точковими об’єктами, якщо дивитися з боку спостерігача.

Кутова відстань з'являється в математиці (зокрема, геометрії та тригонометрії) та всіх природничих науках (наприклад , астрономії та геофізиці). У класичній механіці об'єктів, що обертаються, він з'являється поряд з кутовою швидкістю, кутовим прискоренням, кутовим моментом, моментом інерції та крутним моментом.

Використання

Термін кутова відстань (або поділ) є технічно синонімом самого кута, але має на увазі лінійну відстань між об’єктами (наприклад, пара зірок, спостережених із Землі).

Вимірювання

Оскільки кутова відстань (або поділ) концептуально ідентична куту, вона вимірюється в тих самих одиницях, таких як градуси або радіани, за допомогою таких інструментів, як гоніометри або оптичні інструменти, спеціально розроблені для вказівки в чітко визначених напрямках і запису відповідних кути (наприклад, телескопи).

Рівняння

Загальний випадок

Кутовий поділ ${\displaystyle \theta }$ між точками А і В, як видно з О

Щоб вивести рівняння, яке описує кутовий розрив двох точок, розташованих на поверхні сфери, якщо дивитися з центру сфери, ми використовуємо приклад двох астрономічних об’єктів ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ спостерігається із Землі. Об'єкти ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ визначаються їх небесними координатами, а саме їхніми прямими сходженнями (RA), ${\displaystyle (\alpha _{A},\alpha _{B})\in [0,2\pi ]}$; і відмінювання (dec), ${\displaystyle (\delta _{A},\delta _{B})\in [-\pi /2,\pi /2]}$. Дозволяти ${\displaystyle O}$ вказують спостерігача на Землі, який, як передбачається, знаходиться в центрі небесної сфери. Скалярний добуток векторів ${\displaystyle \mathbf {OA} }$ і ${\displaystyle \mathbf {OB} }$ дорівнює:

${\displaystyle \mathbf {OA} \cdot \mathbf {OB} =R^{2}\cos \theta }$

що еквівалентно:

${\displaystyle \mathbf {n_{A}} .\mathbf {n_{B}} =\cos \theta }$

В ${\displaystyle (x,y,z)}$ кадру, два унітарні вектори розкладаються на:

${\displaystyle \mathbf {n_{A}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\\\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\\\sin \delta _{A}\end{pmatrix}}\mathrm {\qquad and\qquad } \mathbf {n_{B}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}\\\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}\\\sin \delta _{B}\end{pmatrix}}.}$

тому

${\displaystyle \mathbf {n_{A}} \mathbf {n_{B}} =\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}+\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}+\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}\equiv \cos \theta }$

потім:

${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left[\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\cos(\alpha _{A}-\alpha _{B})\right]}$

Апроксимація малої кутової відстані

Наведений вище вираз справедливий для будь-якого положення A і B на сфері. В астрономії часто буває так, що розглядувані об'єкти знаходяться на небі дійсно близько: зірки в полі зору телескопа, подвійні зірки, супутники планет-гігантів Сонячної системи і т.д. У тому випадку, коли ${\displaystyle \theta \ll 1}$ радіан, маючи на увазі ${\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}$ і ${\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}$, ми можемо розвинути наведений вище вираз і спростити його. У наближенні малого кута, у другому порядку, наведений вище вираз стає:

${\displaystyle \cos \theta \approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\left[1-{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\right]}$

значення

${\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \cos(\delta _{A}-\delta _{B})-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$

отже

${\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1-{\frac {(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}{2}}-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$ .

Враховуючи це ${\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}$ і ${\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}$, при розвитку другого порядку виходить так ${\displaystyle \cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\approx \cos ^{2}\delta _{A}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$, так що

${\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\left[(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}\right]^{2}+(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}}}$

Мала кутова відстань: площинна апроксимація

Площинне наближення кутової відстані на небі

Якщо ми розглянемо детектор, який створює зображення невеликого поля неба (розмір набагато менше одного радіана) з ${\displaystyle y}$ -вісь спрямована вгору, паралельна меридіану прямого сходження ${\displaystyle \alpha }$, і ${\displaystyle x}$ -вісь по паралелі відмінювання b, кутове розділення можна записати так:

${\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}}$

де ${\displaystyle \delta x=(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}}$ і ${\displaystyle \delta y=\delta _{A}-\delta _{B}}$ .

Зверніть увагу, що ${\displaystyle y}$ -вісь дорівнює схиленню, тоді як ${\displaystyle x}$ -вісь - це пряме сходження, модульоване ${\displaystyle \cos \delta _{A}}$ оскільки переріз сфери радіусом ${\displaystyle R}$ за схиленням (широта) ${\displaystyle \delta }$ є ${\displaystyle R'=R\cos \delta _{A}}$ (див. малюнок).

Див. також

• Мілірадіан
• Градіан
• Годинний кут
• Центральний кут
• Кут повороту
• Кутовий діаметр
• Відстань великого кола

Примітки

• КАСТОР, автор(и) невідомий. Сферична тригонометрія проти. векторний аналіз".