В алгебричній геометрії кубічна поверхня — це алгебрична поверхня, що задається однорідним многочленом третього степеня в проєктивному просторі .
Можна прийняти або .
27 прямих на кубічній поверхні
Чудовим і нетривіальним результатом алгебричної геометрії є те, що коли поверхня неособлива (тобто в кожній точці поверхні хоча б одна часткова похідна многочлена не дорівнює нулю), а основне поле є полем комплексних чисел, на кубічній поверхні лежить рівно 27 прямих. Це теорема Кейлі — , яку встановив 1849 року Сальмон після того, як Кейлі продемонстрував, що число прямих на такій кубічній поверхні завжди скінченне.
Звичайно, над полем дійсних чисел на поверхні може не бути 27 прямих. Однак можна показати, що число дійсних прямих дорівнює 3, 7, 15 або 27. Усі ці можливості реалізуються.
Приклади
Поверхня Ферма
Многочлен є однорідним многочленом степеня 3, і задавана ним кубічна поверхня (звана поверхнею Ферма) є . Ця поверхня неособлива і містить 27 прямих. У цьому випадку многочлен досить простий, щоб явно їх описати: з точністю до перестановки координат, вони мають вигляд , де — кубічні корені з . Над є три кубічних корені з , і комбінаторний аргумент показує, що загальне число прямих дорівнює 27.
Над полем дійсних чисел існує тільки один кубічний корінь з , що дає три прямі.
Поверхня Клебша
Поверхня Клебша — це кубічна поверхня, рівняння якої , і вона має 27 дійсних прямих:
- , із точністю до перестановки координат, — три прямі.
- , із точністю до перестановки координат, — 12 прямих.
- , де , дає 12 прямих.
Очевидно, що всі 27 прямих лежать у проєктивному просторі над полем дійсних чисел, і навіть у .
Поверхня Келі
Поверхня Келі визначається рівнянням
Ця поверхня особлива, всі чотири часткові похідні занулюются в чотирьох точках кубики
Таким чином, це приклад, коли теорему Келі — Сальмона не можна застосувати. Однак ця поверхня, як і раніше, містить прямі, зокрема прямі, що з'єднують особливі точки.
Література
- , Undergratuate Algebraic Geometry, CUP, 1989.
Посилання
- Surface cubique [ 27 червня 2021 у Wayback Machine.], Mathcurve
- Étienne Ghys, Jos Leys, Des surfaces cubiques en DVD [ 24 червня 2021 у Wayback Machine.] — Images des mathématiques, [Національний центр наукових досліджень CNRS], 2008
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V algebrichnij geometriyi kubichna poverhnya ce algebrichna poverhnya sho zadayetsya odnoridnim mnogochlenom tretogo stepenya v proyektivnomu prostori P 3 K displaystyle mathbb P 3 mathbb K Mozhna prijnyati K R displaystyle mathbb K mathbb R abo C displaystyle mathbb C 27 pryamih na kubichnij poverhniChudovim i netrivialnim rezultatom algebrichnoyi geometriyi ye te sho koli poverhnya neosobliva tobto v kozhnij tochci poverhni hocha b odna chastkova pohidna mnogochlena ne dorivnyuye nulyu a osnovne pole ye polem kompleksnih chisel na kubichnij poverhni lezhit rivno 27 pryamih Ce teorema Kejli yaku vstanoviv 1849 roku Salmon pislya togo yak Kejli prodemonstruvav sho chislo pryamih na takij kubichnij poverhni zavzhdi skinchenne Zvichajno nad polem dijsnih chisel na poverhni mozhe ne buti 27 pryamih Odnak mozhna pokazati sho chislo dijsnih pryamih dorivnyuye 3 7 15 abo 27 Usi ci mozhlivosti realizuyutsya PrikladiPoverhnya Ferma Poverhnya Ferma yaka mistit tri dijsni pryami Mnogochlen P X Y Z T X 3 Y 3 Z 3 T 3 displaystyle P X Y Z T X 3 Y 3 Z 3 T 3 ye odnoridnim mnogochlenom stepenya 3 i zadavana nim kubichna poverhnya zvana poverhneyu Ferma ye X Y Z T P 3 C X 3 Y 3 Z 3 T 3 0 displaystyle X Y Z T in mathbb P 3 mathbb C X 3 Y 3 Z 3 T 3 0 Cya poverhnya neosobliva i mistit 27 pryamih U comu vipadku mnogochlen dosit prostij shob yavno yih opisati z tochnistyu do perestanovki koordinat voni mayut viglyad X r X Z r Z displaystyle X rho X Z rho Z de r r displaystyle rho rho kubichni koreni z 1 displaystyle 1 Nad C displaystyle mathbb C ye tri kubichnih koreni z 1 displaystyle 1 i kombinatornij argument pokazuye sho zagalne chislo pryamih dorivnyuye 27 Nad polem dijsnih chisel isnuye tilki odin kubichnij korin z 1 displaystyle 1 sho daye tri pryami Poverhnya Klebsha Model poverhni Klebsha iz zobrazhenimi pryamimi Poverhnya Klebsha ce kubichna poverhnya rivnyannya yakoyi X 3 Y 3 Z 3 T 3 X Y Z T 3 0 displaystyle X 3 Y 3 Z 3 T 3 X Y Z T 3 0 i vona maye 27 dijsnih pryamih X X Z Z displaystyle X X Z Z iz tochnistyu do perestanovki koordinat tri pryami 0 Y Y T displaystyle 0 Y Y T iz tochnistyu do perestanovki koordinat 12 pryamih X Y X ϕ Y ϕ X Y displaystyle X Y X phi Y phi X Y de ϕ 1 5 2 displaystyle phi frac 1 sqrt 5 2 daye 12 pryamih Ochevidno sho vsi 27 pryamih lezhat u proyektivnomu prostori nad polem dijsnih chisel i navit u P 3 Q 5 displaystyle mathbb P 3 left mathbb Q sqrt 5 right Poverhnya Keli Poverhnya Keli Poverhnya Keli viznachayetsya rivnyannyam X Y Z X Y T X Z T Y Z T 0 displaystyle XYZ XYT XZT YZT 0 Cya poverhnya osobliva vsi chotiri chastkovi pohidni zanulyuyutsya v chotiroh tochkah kubiki 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 displaystyle 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Takim chinom ce priklad koli teoremu Keli Salmona ne mozhna zastosuvati Odnak cya poverhnya yak i ranishe mistit pryami zokrema pryami sho z yednuyut osoblivi tochki Literatura Undergratuate Algebraic Geometry CUP 1989 PosilannyaSurface cubique 27 chervnya 2021 u Wayback Machine Mathcurve Etienne Ghys Jos Leys Des surfaces cubiques en DVD 24 chervnya 2021 u Wayback Machine Images des mathematiques Nacionalnij centr naukovih doslidzhen CNRS 2008