Зростаючий факторіал

Символ Похгаммера — позначення для спеціальної функції, яка задається добутком

${\displaystyle (x)_{n}=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=x(x+1)(x+2)\dots (x+n-1)}$,

де ${\displaystyle n}$ — невід'ємне ціле число, який ще називають зростаючим факторіалом. Використовується, наприклад, при означені гіпергеометричної функції.

В комбінаториці, символом ${\displaystyle (x)_{n}}$ позначають спадний факторіал

${\displaystyle (x)_{n}=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)=x(x-1)(x-2)\dots (x-n+1)}$,

а зростаючий факторіал — символом ${\displaystyle x^{(n)}}$.

Назва дана в честь німецького математика Лео Похгаммера (Leo August Pochhammer).

Якщо не обумовлено окремо, то надалі під символом ${\displaystyle (x)_{n}}$ розумітимемо зростаючий факторіал.

Приклади

Перші декілька значень для невід'ємних цілих ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle (x)_{0}=1,}$

${\displaystyle (x)_{1}=x,}$

${\displaystyle (x)_{2}=x^{2}+x,}$

${\displaystyle (x)_{3}=x^{3}+3x^{2}+2x,}$

${\displaystyle (x)_{4}=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x,}$

Часткові випадки:

${\displaystyle (1)_{n}=n!,\qquad \left({\frac {1}{2}}\right)_{n}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}.}$

Властивості

Для символів Похгаммера виконується відношення:

${\displaystyle (-x)_{n}=(-1)^{n}\cdot (x-n+1)_{n}.}$

Символ Похгаммера можна виразити через гамма-функцію

${\displaystyle (x)_{n}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}}$

та через біноміальний коефіцієнт

${\displaystyle {\frac {(x)_{n}}{n!}}={x+n-1 \choose n}.}$

Символ Похгаммера пов'язаний з числами Стірлінга першого роду ${\displaystyle s(n,k)}$:

${\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{(-1)}^{n-k}s(n,k)\cdot x^{k},}$

Співвідношення між символами Похгаммера для парного то непарного індексу:

${\displaystyle (x)_{2n}=2^{2n}\left({\frac {x}{2}}\right)_{n}\left({\frac {x+1}{2}}\right)_{n},\qquad (x)_{2n+1}=2^{2n+1}\left({\frac {x}{2}}\right)_{n+1}\left({\frac {x+1}{2}}\right)_{n}.}$

Відношення двох символів Похгаммера:

${\displaystyle {\frac {(x)_{n}}{(x)_{m}}}=\left\{{\begin{array}{ll}(x+m)_{n-m},&n\geqslant m,\\\\\displaystyle {\frac {1}{(x+n)_{m-n}}},&n\leqslant m.\end{array}}\right.}$

Похідна символу Похгаммера:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x)_{n}=(x)_{n}\cdot \left(\psi _{0}(n+x)-\psi _{0}(x)\right),}$

де ${\displaystyle \psi _{0}(x)}$ — дигамма-функція.

Зростаючий та спадний факторіали

Тут будемо використовувати наступні позначення, прийняті в комбінаториці:

• Зростаючий факторіал

${\displaystyle x^{(n)}=x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1);}$

• Спадний факторіал

${\displaystyle (x)_{n}=x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).}$

Спадний факторіал чисельно дорівнює кількості розміщень без повторень з ${\displaystyle x}$ по ${\displaystyle n}$ або (що те саме) кількості усіх ін'єктивних функцій з множини потужності ${\displaystyle n}$ в множину потужності ${\displaystyle x}$.

Зростаючий та спадний факторіали пов'язані співвідношеннями

${\displaystyle x^{(n)}={(x+n-1)}_{n},\quad x^{(n)}={(-1)}^{n}{(-x)}_{n}.}$

Спадний факторіал також можна виразити через гамма-функцію

${\displaystyle (x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}}$

та через біноміальний коефіцієнт

${\displaystyle {\frac {(x)_{n}}{n!}}={x \choose n}.}$

За допомогою спадного факторіала можна компактно виразити похідну ${\displaystyle n}$-ого порядку від степеневої функції

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{a})=(a)_{n}\,\,x^{a-n}.}$

Формула для добутку спадних факторіалів

${\displaystyle (x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{n \choose k}k!\,(x)_{m+n-k}.}$

Твірна функція спадного факторіалу

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}~{\frac {t^{n}}{n!}}=(1+t)^{x}.}$

Узагальнення

Символ Похгаммера можна узагальнити так

${\displaystyle (x)_{n,k}=x(x+k)(x+2k)\cdots (x+(n-1)k)}$

і називається k-символом Похгаммера.

Символ Похгамера можна також узагальнити на випадок довільної функції в такій формі:

${\displaystyle [f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).}$

У такому записі звичайний символ Похгаммера записується як ${\displaystyle [x]^{k/1}.}$

Також у комбінаториці використовується q-аналог символу Похгаммера або q-символ Похгаммера (не плутати з k-символом):

${\displaystyle (x;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-xq^{k})=(1-x)(1-xq)(1-xq^{2})\cdots (1-xq^{n-1}).}$

Посилання

• Weisstein, Eric W. Pochhammer Symbol(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Falling Factorial(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.