Збіжність за Чезаро

Збіжність за Чезаро — узагальнення поняття збіжності числових і функціональних рядів, введене італійським математиком . Фактично існує ціле сімейство визначень, що залежать від параметра k. Спершу збіжність була визначена Чезаро для цілих додатних значень параметра k і застосована до множення рядів. Пізніше поняття збіжності за Чезаро було поширено на довільні значення k у тому числі і на комплексні. Методи знаходження суми за Чезаро мають численні застосування: при множенні рядів, в теорії рядів Фур'є і інших питаннях.

Визначення

Ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ називається збіжним за Чезаро порядку k або (C, k)-збіжним із сумою S, якщо:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{k}}{E_{n}^{k}}}=S}$

де ${\displaystyle A_{n},E_{n}}$ визначаються як коефіцієнти розкладу:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}^{\alpha }x^{n}={\frac {\displaystyle {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}}{(1-x)^{1+\alpha }}},}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }E_{n}^{\alpha }x^{n}=(1-x)^{-1-k},}$

Властивості

При k = 0 збіжність за Чезаро є звичайною збіжністю ряду, при k = 1 ряд є збіжним із сумою S, якщо ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=S,}$ де ${\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}}$ — часткові суми ряду .

Методи (C, k) знаходження суми ряду є цілком регулярними при ${\displaystyle k\geq 0}$ і не є регулярними при ${\displaystyle k<0}$. Сила методу зростає із збільшенням k: якщо ряд є збіжним для k, то для k^' > k > -1 він теж буде збіжним із тією ж сумою.

При k <-1 ця властивість не зберігається.

Якщо ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ є (C, k)-збіжним, то ${\displaystyle a_{n}=o(n^{k})\,}$.

Збіжність за Чезаро (C, k) рівносильна і сумісна зі збіжністю Гельдера (H, k) і Рісса (R, n, k) (k >0). При будь-якому k > -1 метод (C, k) ' слабшим за метод Абеля.^[]

Приклади

Ряд Гранді

Нехай a_n = (-1)ⁿ⁺¹ for n ≥ 1. Тобто, {a_n} є послідовністю

${\displaystyle 1,-1,1,-1,\ldots .\,}$

Послідовність часткових сум {s_n} має вигляд:

${\displaystyle 1,0,1,0,\ldots ,\,}$

і очевидно, що ряд Гранді не збігається у звичному розумінні. Натомість членами послідовності {(s₁ + ... + s_n)/n} є

${\displaystyle {\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots ,}$

і загалом

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=1/2.}$

Отже ряд ряд Гранді є збіжним за Чезаро з параметром 1 і його сума дорівнює 1/2.

Ряд «1 − 2 + 3 − 4 + …»

Докладніше:

Див. також

• Збіжність за Борелем
• Збіжність за Ейлером
• Збіжність за Пуассоном — Абелем

Примітки

1. Cesaro E., «Bull. sci. math.», 1890, t. 14, № 1, p. 114—20;

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)
• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 5 — М.: Наука, 1985
• Барон С. А., Введение в теорию суммируемости рядов, 2 изд., Таллин, 1977.
• Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т.1, М., 1965;
• Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951;
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, .
• Збіжність за Чезаро на PlanetMath.(англ.)