Діагонально-постійна матриця

Матриці Тепліца (діагонально-постійна матриця) — матриця, в якій на всіх діагоналях, паралельних головній, стоять однакові елементи.

Названа на честь німецького математика Отто Тепліца.

У загальному вигляді матриця Тепліца розміру ${\displaystyle n\times n}$ має вигляд:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\ldots &\ldots &a_{-n+1}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{bmatrix}}}$

Тобто виконується співвідношення:

${\displaystyle a_{i,\,j}=a_{i-1,\,j-1}.}$

Зауваження

Дві матриці Тепліца можна скласти за ${\displaystyle \Theta (n)}$ операцій. Матрицю Тепліца можна помножити на вектор за ${\displaystyle \Theta (n\log n)}$ операцій, а множення матриць Тепліца можна провести за ${\displaystyle \Theta (n^{2})}$ операцій.

Система лінійних рівнянь виду ${\displaystyle Ax=b}$ може бути вирішена за час ${\displaystyle \Theta (n^{2})}$.

Матриці Тепліца також пов'язані з рядами Фур'є, тому що оператор множення на многочлен з синусів або косинусів, спроектований на скінченновимірний простір, можна представити такою матрицею.

Див. також

• Ганкелева матриця

Посилання

• Toeplitz and Circulant Matrices: A Review, by R. M. Gray. [ 29 серпня 2014 у Wayback Machine.]