Диференціальне рівняння гіперболічного типу

Диференціальне рівняння гіперболічного типу — один із трьох можливих випадків диференціального рівняння другого порядку в частинних похідних з двома змінними, що в математичній фізиці використовується для описання хвильових процесів.

В канонічній формі це рівняння має вигляд:

${\displaystyle {\frac {\delta ^{2}u}{\delta \xi \delta \eta }}+F_{1}\left(\xi ,\eta ,u,{\frac {\delta u}{\delta \xi }},{\frac {\delta u}{\delta \eta }}\right)=0\ }$.

Виходячи з загального вигляду рівняння в частинних похідних другого порядку

${\displaystyle A{\frac {\delta ^{2}u}{\delta x^{2}}}+2B{\frac {\delta ^{2}u}{\delta x\delta y}}+C{\frac {\delta ^{2}u}{\delta y^{2}}}+D{\frac {\delta u}{\delta x}}+E{\frac {\delta u}{\delta y}}+Fu=f(x,y)\ }$,

можна перейти до канонічного, за допомогою перетворення:

${\displaystyle {\begin{cases}\xi =\varphi (x,y)\\\eta =\psi (x,y)\end{cases}}}$

де ${\displaystyle \varphi ,\psi }$ — інтеграли диференціальних рівнянь характеристик.

Часто користуються другою канонічною формою для гіперболічних рівнянь. У цьому випадку

${\displaystyle \xi ={\frac {1}{2}}(\varphi +\psi ),\ \eta ={\frac {1}{2}}(\varphi -\psi )}$

і рівняння зводиться до вигляду

${\displaystyle {\frac {\delta ^{2}u}{\delta \xi ^{2}}}-{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \eta ^{2}}}+F_{2}\left(\xi ,\eta ,u,{\frac {\delta u}{\delta \xi }},{\frac {\delta u}{\delta \eta }}\right)=0}$

Звичайна інтерпретація змінних ${\displaystyle \xi }$ та ${\displaystyle \eta }$ — час і просторова координата. До рівнянь гіперболічного типу належать хвильові рівняння, наприклад, рівняння коливання струни, рівняння Клейна-Гордона, рівняння синус-Ґордона тощо.

Див. також

• Диференціальне рівняння еліптичного типу
• Диференціальне рівняння параболічного типу

Література

• Перестюк М.О., Маринець В.В. – К.: Либідь, 2001. – 336 с.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, М., 1983;
• Evans, L. C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, .