Диференціальне рівняння другого порядку в частинних похідних

З двома змінними

Диференціальним рівнянням в частинних похідних другого порядку з двома незалежними змінними називається співвідношення між невідомою функцією ${\displaystyle u(x,y)}$ та її частинними похідними до другого порядку включно.

${\displaystyle F\left(x,y,{\frac {\delta u}{\delta x}},{\frac {\delta u}{\delta y}},{\frac {\delta ^{2}u}{\delta x^{2}}},{\frac {\delta ^{2}u}{\delta x\delta y}},{\frac {\delta ^{2}u}{\delta y^{2}}}\right)=0}$

Рівняння називається лінійним відносно старших похідних, якщо воно має вигляд:

${\displaystyle a_{11}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta x^{2}}}+2a_{12}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta x\delta y}}+a_{22}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta y^{2}}}+F_{0}\left(x,y,u,{\frac {\delta u}{\delta x}},{\frac {\delta u}{\delta y}}\right)=0}$

де ${\displaystyle a_{11},a_{12},a_{22}}$ - функції від x та y.

Якщо ${\displaystyle a_{11},a_{12},a_{22}}$ є функціями також від ${\displaystyle u,{\frac {\delta u}{\delta x}},{\frac {\delta u}{\delta y}}}$, то таке рівняння називають квазілінійним.

Рівняння називається лінійним, якщо має вигляд:

${\displaystyle A{\frac {\delta ^{2}u}{\delta x^{2}}}+2B{\frac {\delta ^{2}u}{\delta x\delta y}}+C{\frac {\delta ^{2}u}{\delta y^{2}}}+D{\frac {\delta u}{\delta x}}+E{\frac {\delta u}{\delta y}}+Fu=f(x,y)\ \ (1)}$,

де ${\displaystyle A,B,C,D,E,F}$ - певні функції від x та y.

Якщо ${\displaystyle A,B,C,D,E,F}$ - сталі, то рівняння називають лінійним рівнянням зі сталими коефіцієнтами.

Якщо ${\displaystyle f(x,y)=0}$ то рівняння однорідне, інакше неоднорідне.

Всю сукупність лінійних рівнянь можна поділити на три типи. Кожному з цих трьох типів відповідає певне рівняння найпростішого виду, яке називають канонічним.

За загальноприйнятою класифікацією, вважають, що рівняння (1) належить до

1. гіперболічного типу, якщо ${\displaystyle D>0}$;
2. параболічного типу, якщо ${\displaystyle D=0}$;
3. еліптичного типу, якщо ${\displaystyle D<0}$;

де ${\displaystyle D=a_{12}^{2}-a_{11}a_{22}=B^{2}-AC}$ (рівняння може належати до різних типів, в різних областях площини x,y)

З багатьма змінними

Розглянемо лінійне рівняння другого порядку з дійсними коефіцієнтами:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta x_{i}\delta x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\delta u}{\delta x_{i}}}+cu+f=0\ \ \ (a_{ij}=a_{ji})}$

${\displaystyle a_{ij},b_{i},c,f}$ - функції від ${\displaystyle x_{1},\ldots x_{n}}$.

Йому відповідає квадратична форма:

${\displaystyle Q(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}\lambda _{i}\lambda _{j}}$

Зводимо її до канонічного виду, за допомогою лінійного перетворення, матрицю якого позначимо B.

• Рівняння еліптичне, якщо в всі коефіцієнти квадратичної форми відмінні від нуля, і одного знаку.
• Рівняння гіперболічне, якщо в всі коефіцієнти квадратичної форми відмінні від нуля, і один відрізняється знаком.
• Рівняння параболічне, якщо деякі коефіцієнти квадратичної форми нульові.

Література

• Перестюк М.О., Маринець В.В. (Zip) – К.: Либідь, 2001. – 336 с.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, М., 1983;
• Evans, L. C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, .