Дилогарифм

Дилогарифм — спеціальна функція в математиці, яка позначається ${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(z)}$ і є окремим випадком ${\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)}$ при ${\displaystyle n=2}$. Дилогарифм визначається як

Дійсна і уявна частини функції ${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(x)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\frac {\ln(1-t)}{t}}\,\mathrm {d} t=\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {z^{j}}{j^{2}}}\;.}$

Наведене визначення дилогарифма правильне для комплексних значень змінної z. Для дійсних значень z = x у цій функції є розріз уздовж дійсної осі від 1 до ${\displaystyle \infty }$. Зазвичай значення функції на розрізі визначається так, що уявна частина ділогарифма від'ємна:

${\displaystyle \operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}(x)\right]=\left\{0\;\;(x\leq 1);\quad -\pi \ln {x}\;\;(x>1)\right\}}$

Функцію ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)}$ часто називають дилогарифмом Ейлера, на честь Леонарда Ейлера, який розглянув її 1768 року. Іноді дилогарифм називають функцією Спенса (англ. Spence's function) або інтегралом Спенса на честь шотландського математика (William Spence, 1777—1815), який на початку XIX століття досліджував функції, відповідні ${\displaystyle -\mathrm {Li} _{2}(-z)}$ і ${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(1-z)}$. Назву «дилогарифм» увів Гілл (C.J. Hill) 1828 року.

Функціональні співвідношення

Для дилогарифма існує низка корисних функціональних співвідношень,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(-z)={\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Li} _{2}(z^{2})}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{z}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}-\ln z\;\ln(1-z)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {z}{1+z}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}{\ln ^{2}(1+z)}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)-\operatorname {Li} _{2}(1-z)+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Li} _{2}(1-z^{2})=-{\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}-\ln z\ln(1+z)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{z}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{z}}$

для дійсних ${\displaystyle x>1}$ ,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{x}}\right)={\textstyle {\frac {1}{3}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{x}-{\rm {i}}\pi \ln {x}}$

Відомі також співвідношення, що містять дві незалежні змінні — наприклад, тотожність Гілла:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(xy)=\operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}(y)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {x(1-y)}{1-xy}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {y(1-x)}{1-xy}}\right)-\ln \left({\frac {1-x}{1-xy}}\right)\ln \left({\frac {1-y}{1-xy}}\right)}$

Окремі значення

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(0)=0}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-1)=-{\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\textstyle {\frac {1}{2}}})={\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{2}}$

Використовуючи співвідношення між функціями від x і 1/x, отримуємо

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(2)={\textstyle {\frac {1}{4}}}\pi ^{2}-{\rm {i}}\pi \ln {2}}$

Існує також низка результатів для аргументів, пов'язаних з золотим перетином ${\displaystyle \phi ={\textstyle {\frac {1}{2}}}(1+{\sqrt {5}})}$,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-\phi )=-{\textstyle {\frac {1}{10}}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{\phi }}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-\phi ^{-1})=-{\textstyle {\frac {1}{15}}}\pi ^{2}+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{\phi }}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\phi ^{-1})={\textstyle {\frac {1}{10}}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{\phi }}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\phi ^{-2})={\textstyle {\frac {1}{15}}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{\phi }}$

а також для дилогарифма уявного аргументу,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\pm {\rm {i}})=-{\textstyle {\frac {1}{48}}}\pi ^{2}\pm {\rm {i}}G}$

де G — стала Каталана.

Співвідношення для окремих значень

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{3}}}\right)-{\textstyle {\frac {1}{6}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)={\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{6}}}\ln ^{2}{3}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\right)+{\textstyle {\frac {1}{6}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+\ln {2}\;\ln {3}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{2}-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\ln ^{2}{3}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\right)+{\textstyle {\frac {1}{3}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)={\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+2\ln {2}\;\ln {3}-2\ln ^{2}{2}-{\textstyle {\frac {2}{3}}}\ln ^{2}{3}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\right)-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+{\textstyle {\frac {1}{6}}}\ln ^{2}{3}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{8}}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}\!\left({\textstyle {\frac {9}{8}}}\right)}$

${\displaystyle 36\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{2}}}\right)-36\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\right)-12\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{8}}}\right)+6\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{64}}}\right)={\pi }^{2}}$

Функції, пов'язані з дилогарифмом

• ^[en] ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$

Виникає при розгляді дилогарифма, аргумент якого знаходиться на одиничному колі в комплексній площині,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i}}\theta }\right)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{4}}}\theta (2\pi -\theta )+{\rm {i}}\;\operatorname {Cl} _{2}(\theta ),\quad (0\leq \theta \leq 2\pi )}$

Таким чином,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=\operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i}}\theta }\right)\right]={\textstyle {\frac {1}{2{\rm {i}}}}}\left[\operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i}}\theta }\right)-\operatorname {Li} _{2}\left(e^{-{\rm {i}}\theta }\right)\right]}$

Ця функція використовується під час обчислення об'ємів у гіперболічній геометрії, і пов'язана з функцією Клаузена (а отже і з дилогарифмом),

${\displaystyle L(\theta )=-\int _{0}^{\theta }{\rm {d}}\tau \;\ln |\cos \tau |=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )+\theta \ln {2}}$

Іноді використовується інше визначення функції Лобачевського,

${\displaystyle \Lambda (\theta )=-\int _{0}^{\theta }{\rm {d}}\tau \;\ln |2\sin \tau |={\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )}$

• ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(y)}$

Виникає під час розгляду дилогарифма уявного аргументу,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)={\textstyle {\frac {1}{4}}}\operatorname {Li} _{2}(-y^{2})+{\rm {i}}\;\operatorname {Ti} _{2}(y)}$

Таким чином,

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(y)=\operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)\right]={\textstyle {\frac {1}{2{\rm {i}}}}}\left[\operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)-\operatorname {Li} _{2}(-{\rm {i}}y)\right]}$

• Функція Лежандра ${\displaystyle {\displaystyle {\chi _{2}(z)}}}$

Ця функція виражається через дилогарифми як

${\displaystyle \chi _{2}(z)=\sum \limits _{j=1}^{\infty }{\frac {z^{2j+1}}{(2j+1)^{2}}}={\textstyle {\frac {1}{2}}}\left[\operatorname {Li} _{2}(z)-\operatorname {Li} _{2}(-z)\right]}$

Зокрема, ${\displaystyle \chi _{2}({\rm {i}}y)={\rm {i}}\operatorname {Ti} _{2}(y)}$ .

Примітки

1. Leonhard Euler, Institutiones calculi integrals
2. Антонов Н. В., Васильев А. Н. Критическая динамика как теория поля // ТМФ. — 1984. — Т. 60. № 1. — С. 59—71
3. . Архів оригіналу за 28 жовтня 2019. Процитовано 2 березня 2020.

Посилання

• Leonard Lewin,. Dilogarithms and associated functions. — Macdonald, London, 1958. MR0105524
• Leonard Lewin,. Polylogarithms and associated functions. — North Holland, New York, Oxford, 1981.
• Don Zagier, The dilogarithm function (PDF) [ 26 березня 2015 у Wayback Machine.]
• Weisstein, Eric W. Dilogarithm(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.