Група класів ідеалів

Група класів ідеалів — абелева група, що виникає в комутативній алгебрі і алгебраїчній теорії чисел. Вона певною мірою визначає наскільки деяке кільце Дедекінда (чи, більш загально, кільце Круля) близьке до того щоб бути факторіальним. Для факторіальних кілець і тільки для них дана група є тривіальною.

Визначення

Нехай ${\displaystyle A}$ — кільце Дедекінда і ${\displaystyle K}$ — його поле часток. Група класів ідеалів ${\displaystyle C_{A}}$ кільця ${\displaystyle A}$ визначається як факторгрупа

${\displaystyle C_{A}=J_{A}/P_{A}.\,}$

У визначенні використані позначення

• ${\displaystyle J_{A}}$ — група дробових ідеалів, з операцією множення

${\displaystyle IJ=\left\{\left.\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|a_{i}\in I,b_{i}\in J\right\},}$

Група ${\displaystyle J_{A}}$ є вільною абелевою групою, базисом якої є прості ідеали кільця ${\displaystyle A}$.

• ${\displaystyle P_{A}}$ — підгрупа головних дробових ідеалів, тобто дробових ідеалів виду

${\displaystyle (a)=A\cdot a\subset K}$

для ${\displaystyle a\in K}$.

Також групу класів можна визначити за допомогою відношення еквівалентності: ідеали ${\displaystyle \ I}$ та ${\displaystyle \ J}$ дедекіндового кільця є еквівалентними, якщо, для деяких ${\displaystyle \alpha ,\beta \in A}$ виконується ${\displaystyle \ \alpha I=\beta J}$.

Приклади

• Кільця ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$, де ω — кубічний корінь з 1, i — квадратний корінь з −1, є факторіальним і тому їх групи класів ідеалів є тривіальними.
• Для кільця ${\displaystyle A=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ група класів ідеалів має два елементи.

Властивості

• Група класів ідеалів є тривіальною тоді і тільки тоді, коли кільце ${\displaystyle A}$ — факторіальне.
• Якщо ${\displaystyle K}$ — алгебраїчне числове поле, ${\displaystyle A}$ — його кільце цілих чисел, то відповідна група класів ідеалів є скінченною.
• Довільна абелева група є групою класів ідеалів деякого кільця Дедекінда.

Посилання

• Ю.Дрозд. Алгебричні числа. Конспект лекцій [ 17 січня 2015 у Wayback Machine.]