Вінерівський процес

Вінерівський процес в теорії випадкових процесів — це стохастичний процес з неперервним часом, що математично виражає випадкові блукання. Названий на честь Норберта Вінера. Це один з найбільш відомих процесів Леві (càdlàg стохастичний стаціонарний процес з незалежними приростами) і часто зустрічається в чистій та прикладній математиці, економіці, фінансовій математиці і фізиці.

Вінерівський процес відіграє важливу роль у чистій та прикладній математиці. В чистій математиці, вінерівський процес породив вивчення мартингалів з неперервним часом.

Означення

Випадковий процес ${\displaystyle (\xi _{t}),t\in [0,+\infty )}$ називається вінерівським, якщо:

• 1. Цей процес є процесом з незалежними приростами.
• 2. Для всіх ${\displaystyle t_{1},t_{2},s\in [0,+\infty )}$ має місце слідування: ${\displaystyle t_{1}<t_{2}\rightarrow {\mathcal {L}}(\xi _{t_{2}+s}-\xi _{t_{1}+s})={\mathcal {L}}(\xi _{t_{2}}-\xi _{t_{1}})}$ (тобто випадкові величини ${\displaystyle \xi _{t_{2}+s}-\xi _{t_{1}+s}}$ і ${\displaystyle \xi _{t_{2}}-\xi _{t_{1}}}$ однаково розподілені).
• 3. Для всіх ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ буде ${\displaystyle \xi _{0}(\omega )=0}$ (процес починається в нулі).
• 4. При ${\displaystyle h\to 0}$:

• ${\displaystyle M\xi _{h}=ah+o(h)}$;
• ${\displaystyle M\xi _{h}^{2}=bh+o(h)}$;
• ${\displaystyle M|\xi _{h}|^{3}=o(h)}$;

де ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,b>0}$ — параметри, що визначають процес.

Головна властивість

Якщо ${\displaystyle (\xi _{t}),t\in [0,+\infty )}$ — вінерівський процес, то для всіх ${\displaystyle t\in [0,+\infty ]}$ буде ${\displaystyle \xi _{t}\simeq N(at,bt)}$ (при фіксації часу випадкова величина ${\displaystyle \xi _{t}}$ має нормальний розподіл з параметрами at, bt).

Література

1. С. Карлин. Основы теории случайных процессов. М. — 1971.

2. Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. -К.: Інформтехніка, 1995.

Див. також

• Випадковий процес
• Норберт Вінер

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — 2-е. — Москва : Наука, 1977. — 567 с.(рос.)