Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
В геометрії кривих, вершина — це точка, в якої перша похідна кривини дорівнює нулю. Як правило, це локальний максимум або мінімум кривини, і деякі автори визначають вершину як екстремальну точку кривини. Однак, тут можуть виникнути спеціальні випадки, наприклад, коли друга похідна теж дорівнює нулю або коли кривина постійна.
Приклади
Гіпербола має дві вершини, на кожній гілці — одну. Ці вершини мають найменшу відстань поміж двома точками на гіперболі та лежать на головній осі. На параболі всього одна вершина, і вона лежить на осі симетрії. В еліпса чотири вершини, дві з них лежать на великій осі та дві на малій.
На колі, оскільки воно має сталу кривину, будь-яка точка є вершиною.
Точки перегину и дотику
Вершини — це точки, де крива має дотик порядку 3 зі стичним колом в цій точці. Звичайно точки на кривій мають зі стичним колом дотик другого порядку. Еволюта кривої звичайно має касп, якщо крива має вершину. Бувають й інші особливі точки в вершинах великого порядку, в яких порядок дотику зі стичним колом більше трьох. Хоча звичайно крива не має вершин високого порядку, у сімействах кривих дві звичайні вершини можуть злитися в вершину великого порядку, а потім зникнути.
[en] кривої має кінці в каспах, що відповідають вершинам, а , підмножина множини симетрії, також має кінці в каспах.
Інші властивості
Згідно з теоремою про чотири вершини будь-яка проста замкнена пласка крива повинна мати щонайменше чотири вершини. Більш загальне твердження, що будь-яка проста замкнена крива у просторі розташована на опуклій поверхні, або обмежує локально опуклий диск, має чотири вершини.
Якщо крива дзеркально симетрична, вона має вершину в точці перетину осі симетрії з кривою. Таким чином, поняття вершини кривої тісно пов'язано з оптичними точками, точками, в яких оптична вісь перетинає поверхню лінзи.
Примітки
- Agoston, 2005, стор. 570; Gibson, 2001, стор. 126.
- Gibson, 2001, стор. 127.
- Fuks та Tabachnikov, 2007, стор. 141.
- Agoston, 2005, стор. 570; Gibson, 2001, стор. 127.
- Gibson, 2001, стор. 126.
- Fuks та Tabachnikov, 2007, стр. 142.
- Agoston, 2005, Теорема 9.3.9, стор. 570; Gibson, 2001, Section 9.3, «The Four Vertex Theorem», стор. 133–136; Fuks та Tabachnikov, 2007, Теорема 10.3, стор. 149.
- Sedykh, V.D. (1994). Four vertices of a convex space curve. Bull. London Math. Soc. 26 (2): 177–180.
- Ghomi, Mohammad (2015), Boundary torsion and convex caps of locally convex surfaces, arXiv:1501.07626
Посилання
- Max K. Agoston «Computer Graphics and Geometric Modelling: Mathematics»//Springer — 2005.
- D. B. Fuks, Serge Tabachnikov «Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics»//American Mathematical Society — 2007.
- C. G. Gibson «Elementary Geometry of Differentiable Curves: An Undergraduate Introduction»//Cambridge University Press — 2001.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V geometriyi krivih vershina ce tochka v yakoyi persha pohidna krivini dorivnyuye nulyu Yak pravilo ce lokalnij maksimum abo minimum krivini i deyaki avtori viznachayut vershinu yak ekstremalnu tochku krivini Odnak tut mozhut viniknuti specialni vipadki napriklad koli druga pohidna tezh dorivnyuye nulyu abo koli krivina postijna Elips chervonij ta jogo evolyuta sinya Tochki ye vershinami krivoyi ta kozhna z nih vidpovidaye vistryu evolyuti U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Vershina PrikladiGiperbola maye dvi vershini na kozhnij gilci odnu Ci vershini mayut najmenshu vidstan pomizh dvoma tochkami na giperboli ta lezhat na golovnij osi Na paraboli vsogo odna vershina i vona lezhit na osi simetriyi V elipsa chotiri vershini dvi z nih lezhat na velikij osi ta dvi na malij Na koli oskilki vono maye stalu krivinu bud yaka tochka ye vershinoyu Tochki pereginu i dotikuVershini ce tochki de kriva maye dotik poryadku 3 zi stichnim kolom v cij tochci Zvichajno tochki na krivij mayut zi stichnim kolom dotik drugogo poryadku Evolyuta krivoyi zvichajno maye kasp yaksho kriva maye vershinu Buvayut j inshi osoblivi tochki v vershinah velikogo poryadku v yakih poryadok dotiku zi stichnim kolom bilshe troh Hocha zvichajno kriva ne maye vershin visokogo poryadku u simejstvah krivih dvi zvichajni vershini mozhut zlitisya v vershinu velikogo poryadku a potim zniknuti en krivoyi maye kinci v kaspah sho vidpovidayut vershinam a pidmnozhina mnozhini simetriyi takozh maye kinci v kaspah Inshi vlastivostiZgidno z teoremoyu pro chotiri vershini bud yaka prosta zamknena plaska kriva povinna mati shonajmenshe chotiri vershini Bilsh zagalne tverdzhennya sho bud yaka prosta zamknena kriva u prostori roztashovana na opuklij poverhni abo obmezhuye lokalno opuklij disk maye chotiri vershini Yaksho kriva dzerkalno simetrichna vona maye vershinu v tochci peretinu osi simetriyi z krivoyu Takim chinom ponyattya vershini krivoyi tisno pov yazano z optichnimi tochkami tochkami v yakih optichna vis peretinaye poverhnyu linzi PrimitkiAgoston 2005 stor 570 Gibson 2001 stor 126 Gibson 2001 stor 127 Fuks ta Tabachnikov 2007 stor 141 Agoston 2005 stor 570 Gibson 2001 stor 127 Gibson 2001 stor 126 Fuks ta Tabachnikov 2007 str 142 Agoston 2005 Teorema 9 3 9 stor 570 Gibson 2001 Section 9 3 The Four Vertex Theorem stor 133 136 Fuks ta Tabachnikov 2007 Teorema 10 3 stor 149 Sedykh V D 1994 Four vertices of a convex space curve Bull London Math Soc 26 2 177 180 Ghomi Mohammad 2015 Boundary torsion and convex caps of locally convex surfaces arXiv 1501 07626PosilannyaMax K Agoston Computer Graphics and Geometric Modelling Mathematics Springer 2005 D B Fuks Serge Tabachnikov Mathematical Omnibus Thirty Lectures on Classic Mathematics American Mathematical Society 2007 C G Gibson Elementary Geometry of Differentiable Curves An Undergraduate Introduction Cambridge University Press 2001