Вели́ка теоре́ма Ферма́ (відома теорема Ферма, остання теорема Ферма) — твердження, що для довільного натурального числа рівняння (рівняння Ферма) не має розв'язків у цілих числах , відмінних від нуля.
, |
![]() |
Теорема Ферма |
Близько 1637 року французький математик П'єр Ферма на полях книги Діофанта "[en] сформулював теорему так:
Неможливо розкласти ні куб на два куби, ні біквадрат на два біквадрати, ні взагалі довільний степінь, більший від квадрата, на два степені з таким самим показником. Я відкрив цьому воістину чудове доведення, але ці поля для нього занадто малі. Оригінальний текст (лат.) Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. |
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelEzTDBScGIzQm9ZVzUwZFhNdFNVa3RPQzFHWlhKdFlYUXVhbkJuTHpJd01IQjRMVVJwYjNCb1lXNTBkWE10U1VrdE9DMUdaWEp0WVhRdWFuQm4uanBn.jpg)
Зустрічаються вужчі варіанти формулювання, один з яких стверджує, що це рівняння не має натуральних коренів. Однак, очевидно, що якщо існують корені в цілих числах, то існують і в натуральних числах. Справді, нехай a, b, c — цілі числа, що задовольняють рівняння Ферма. Якщо n парне, то |a|, |b|, |c| теж будуть коренями, а якщо непарне, то перенесемо всі степені з від'ємними значеннями в іншу частину рівняння, змінивши знак. Наприклад, якби існував розв'язок рівняння і при цьому від'ємне, а інші додатні, то , і отримуємо натуральні розв'язки c, |a|, b. Тому обидва формулювання еквівалентні.
Узагальненнями твердження теореми Ферма є спростована гіпотеза Ейлера і відкрита [en].
Історія доведення
Для випадку n = 3 цю теорему в X столітті намагався довести Ал-Ходжанді, але його доведення не збереглося.
У загальному вигляді теорему сформулював П'єр Ферма в 1637 році на полях «Арифметики» Діофанта. Справа в тому, що Ферма записував свої гіпотези на полях математичних трактатів. Теорему, про яку йде мова, він записав з припискою, що знайдене ним доведення цієї теореми надто довге, щоб його можна було помістити на полях цієї книги.
Пізніше Ферма опублікував доведення для випадку , що дає підстави для сумнівів, чи мав він доведення для загального випадку.
Леонард Ейлер у 1770 році довів теорему для випадку , Діріхле та Лежандр у 1825 — для
, Габрієль Ламе — для
. Ернст Куммер довів, що теорема справедлива для всіх простих n, менших за 100, за можливим винятком так званих (іррегулярних простих) 37, 59, 67.
Над повним доведенням Великої теореми працювало чимало видатних математиків і безліч дилетантів-аматорів; вважається, що теорема стоїть на першому місці за кількістю некоректних «доведень». Проте ці зусилля привели до отримання багатьох важливих результатів сучасної теорії чисел. Давид Гільберт у своїй доповіді «Математичні проблеми» на II Міжнародному конгресі математиків (1900) зазначив, що пошук доведення для цієї, здавалося б, малозначної теореми, привів до глибоких результатів у теорії чисел.
У 1908 році німецький математик [en] заповів 100 тис. німецьких марок тому, хто доведе теорему Ферма. Однак після Першої світової війни премія знецінилася.
Німецький математик Герхард Фрай припустив, що Велика теорема Ферма є наслідком гіпотези Таніями — Сімура — Вейля. Це припущення довів Кен Рібет.
Про доведення теореми було оголошено влітку 1993 року. Під час триденної лекції в Інституті сера Ісаака Ньютона у Кембріджі Ендрю Вайлс озвучив основні принципи доведення гіпотези Таніями — Сімури, наслідком якої було доведення і Великої теореми Ферма. Але, коли рукописи з детальним доведенням передали на рецензування, в одному з розділів знайшли суттєву помилку. Остаточно теорему довів Ендрю Вайлс за участі Річарда Тейлора тільки 1995 року.[] 129-сторінкове доведення надруковано в журналі «Annals of Mathematics».
У 2016 році за доведення Великої теореми Ферма Ендрю Вайлс отримав премію Абеля.
Колін Мак-Ларт зазначив, що, можливо, доведення Вайлса можна спростити, щоб не припускати існування так званих «великих кардиналів».
Примітки
- Annals_of_Mathematics. Архів оригіналу за 24 червня 2013. Процитовано 5 грудня 2012.
Література
- Постников М. М. Теорема Ферма. — М. : Наука, 1978. — 130 с.
- Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей = Fermat's Last Theorem for Amateurs. — М. : Мир, 2003. — 429 с.
- Сингх С. Великая теорема Ферма = Fermat's Last Theorem. — М. : МЦНМО, 2000. — 288 с.
- Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма. — М.-Л. : Госиздат, 1927. — 76 с.
- Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма: Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел = Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. — М. : Мир, 1980. — 486 с.
Див. також
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Veli ka teore ma Ferma vidoma teorema Ferma ostannya teorema Ferma tverdzhennya sho dlya dovilnogo naturalnogo chisla n 3 displaystyle n geq 3 rivnyannya xn yn zn displaystyle x n y n z n rivnyannya Ferma ne maye rozv yazkiv u cilih chislah x y z displaystyle x y z vidminnih vid nulya xn yn zn displaystyle x n y n neq z n n gt 2 x y z Z displaystyle n gt 2 x y z in mathcal Z Teorema Ferma Blizko 1637 roku francuzkij matematik P yer Ferma na polyah knigi Diofanta en sformulyuvav teoremu tak Nemozhlivo rozklasti ni kub na dva kubi ni bikvadrat na dva bikvadrati ni vzagali dovilnij stepin bilshij vid kvadrata na dva stepeni z takim samim pokaznikom Ya vidkriv comu voistinu chudove dovedennya ale ci polya dlya nogo zanadto mali Originalnij tekst lat Cubum autem in duos cubos aut quadrato quadratum in duos quadrato quadratos et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi Hanc marginis exiguitas non caperet Vidannya 1670 roku Arifmetiki Diofanta vklyuchaye komentar Ferma zokrema jogo veliku teoremu Observatio Domini Petri de Fermat Zustrichayutsya vuzhchi varianti formulyuvannya odin z yakih stverdzhuye sho ce rivnyannya ne maye naturalnih koreniv Odnak ochevidno sho yaksho isnuyut koreni v cilih chislah to isnuyut i v naturalnih chislah Spravdi nehaj a b c cili chisla sho zadovolnyayut rivnyannya Ferma Yaksho n parne to a b c tezh budut korenyami a yaksho neparne to perenesemo vsi stepeni z vid yemnimi znachennyami v inshu chastinu rivnyannya zminivshi znak Napriklad yakbi isnuvav rozv yazok rivnyannya a3 b3 c3 displaystyle a 3 b 3 c 3 i pri comu a displaystyle a vid yemne a inshi dodatni to b3 c3 a 3 displaystyle b 3 c 3 a 3 i otrimuyemo naturalni rozv yazki c a b Tomu obidva formulyuvannya ekvivalentni Uzagalnennyami tverdzhennya teoremi Ferma ye sprostovana gipoteza Ejlera i vidkrita en Istoriya dovedennyaDlya vipadku n 3 cyu teoremu v X stolitti namagavsya dovesti Al Hodzhandi ale jogo dovedennya ne zbereglosya U zagalnomu viglyadi teoremu sformulyuvav P yer Ferma v 1637 roci na polyah Arifmetiki Diofanta Sprava v tomu sho Ferma zapisuvav svoyi gipotezi na polyah matematichnih traktativ Teoremu pro yaku jde mova vin zapisav z pripiskoyu sho znajdene nim dovedennya ciyeyi teoremi nadto dovge shob jogo mozhna bulo pomistiti na polyah ciyeyi knigi Piznishe Ferma opublikuvav dovedennya dlya vipadku n 4 displaystyle n 4 sho daye pidstavi dlya sumniviv chi mav vin dovedennya dlya zagalnogo vipadku Leonard Ejler u 1770 roci doviv teoremu dlya vipadku n 3 displaystyle n 3 Dirihle ta Lezhandr u 1825 dlya n 5 displaystyle n 5 Gabriyel Lame dlya n 7 displaystyle n 7 Ernst Kummer doviv sho teorema spravedliva dlya vsih prostih n menshih za 100 za mozhlivim vinyatkom tak zvanih irregulyarnih prostih 37 59 67 Nad povnim dovedennyam Velikoyi teoremi pracyuvalo chimalo vidatnih matematikiv i bezlich diletantiv amatoriv vvazhayetsya sho teorema stoyit na pershomu misci za kilkistyu nekorektnih doveden Prote ci zusillya priveli do otrimannya bagatoh vazhlivih rezultativ suchasnoyi teoriyi chisel David Gilbert u svoyij dopovidi Matematichni problemi na II Mizhnarodnomu kongresi matematikiv 1900 zaznachiv sho poshuk dovedennya dlya ciyeyi zdavalosya b maloznachnoyi teoremi priviv do glibokih rezultativ u teoriyi chisel U 1908 roci nimeckij matematik en zapoviv 100 tis nimeckih marok tomu hto dovede teoremu Ferma Odnak pislya Pershoyi svitovoyi vijni premiya znecinilasya Nimeckij matematik Gerhard Fraj pripustiv sho Velika teorema Ferma ye naslidkom gipotezi Taniyami Simura Vejlya Ce pripushennya doviv Ken Ribet Pro dovedennya teoremi bulo ogolosheno vlitku 1993 roku Pid chas tridennoyi lekciyi v Instituti sera Isaaka Nyutona u Kembridzhi Endryu Vajls ozvuchiv osnovni principi dovedennya gipotezi Taniyami Simuri naslidkom yakoyi bulo dovedennya i Velikoyi teoremi Ferma Ale koli rukopisi z detalnim dovedennyam peredali na recenzuvannya v odnomu z rozdiliv znajshli suttyevu pomilku Ostatochno teoremu doviv Endryu Vajls za uchasti Richarda Tejlora tilki 1995 roku dzherelo 129 storinkove dovedennya nadrukovano v zhurnali Annals of Mathematics U 2016 roci za dovedennya Velikoyi teoremi Ferma Endryu Vajls otrimav premiyu Abelya Kolin Mak Lart zaznachiv sho mozhlivo dovedennya Vajlsa mozhna sprostiti shob ne pripuskati isnuvannya tak zvanih velikih kardinaliv PrimitkiAnnals of Mathematics Arhiv originalu za 24 chervnya 2013 Procitovano 5 grudnya 2012 LiteraturaPostnikov M M Teorema Ferma M Nauka 1978 130 s Ribenbojm P Poslednyaya teorema Ferma dlya lyubitelej Fermat s Last Theorem for Amateurs M Mir 2003 429 s Singh S Velikaya teorema Ferma Fermat s Last Theorem M MCNMO 2000 288 s Hinchin A Ya Velikaya teorema Ferma M L Gosizdat 1927 76 s Edvards G Poslednyaya teorema Ferma Geneticheskoe vvedenie v algebraicheskuyu teoriyu chisel Fermat s Last Theorem A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory M Mir 1980 486 s Div takozhTeorema Ferma Mala teorema Ferma Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi