У математичному аналізі асимптотичний аналіз — це метод опису граничної поведінки. Ця методологія має багато застосувань у природничих науках. Наприклад
- в інформатиці для аналізу алгоритмів, при розгляді виконання алгоритмів, що застосовуються для дуже великих наборів вхідних даних.
- поведінка дуже великих фізичних систем.
- в , коли встанувлюється причина аварії за допомогою кількісного моделювання, з великим числом аварійних ситуацій в даний час і даному місці.
Найпростіший приклад, розгляд функції f(n), при описі її властивостей, коли n стає занадто великим. Таким чином, якщо f(n)=n2+3n, елемент 3n стає незначним в порівнянні з n2, при занадто великих n. Тоді кажуть, що функція f(n) є асимптотично еквівалентна n2 при n → ∞ й символічно записують як f(n) ~ n2.
Означення
Формально, для заданих двох комплекснозначних функцій f і g, що залежать від натурального аргументу n, пишемо
щоб позначити цей факт в термінах о-маленького, то
- при
що еквівалентно
- при
Це означає, що для довільної додатньої константи ε знайдеться така константа N, що
- для всіх .
Якщо функція g(n) не рівна нулю (інакше границя записана нижче буде невизначеною), це твердження еквівалентне
Це відношення є відношення еквівалентності на множині функцій від n. Клас еквівалентності f загалом складається з усіх функцій g, котрі рівні f, в граничному сенсі.
Асимптотичний розклад
Асимптотичний розклад функції f(x) фактично це представлення цієї функції у вигляді рядів, часткові суми яких не обов'язково збігаються, але такі що будь-які часткові суми являють собою асимптотичні формули для f.
Література
- Асимптотичний аналіз нестійких розв'язків одновимірних стохастичних диференціальних рівнянь: навч. посіб. / Г. Л. Кулініч; Київ. нац. ун-т ім. Тараса Шевченка. — 2-ге вид., перероб. і допов. — Київ: Київський університет, 2015. — 125 с.
- Вступ до асимптотичних методів: Інтеграли та ряди: конспект лекцій / О. В. Барабаш. — К. : Київський ун-т, 2010. — 111 с.
- Якісний та асимптотичний аналіз диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями: [монографія] / А. М. Самойленко, О. М. Станжицький ; НАН України, Інститут математики, Проект «Наукова книга». — К. : Наукова думка, 2009. — 335 с. — Бібліогр.: с. 319—330. —
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cya stattya pro porivnyannya funkcij argumenti yakih pryamuyut do neskinchennosti Pro asimptoti krivih div asimptota U matematichnomu analizi asimptotichnij analiz ce metod opisu granichnoyi povedinki Cya metodologiya maye bagato zastosuvan u prirodnichih naukah Napriklad v informatici dlya analizu algoritmiv pri rozglyadi vikonannya algoritmiv sho zastosovuyutsya dlya duzhe velikih naboriv vhidnih danih povedinka duzhe velikih fizichnih sistem v koli vstanuvlyuyetsya prichina avariyi za dopomogoyu kilkisnogo modelyuvannya z velikim chislom avarijnih situacij v danij chas i danomu misci Najprostishij priklad rozglyad funkciyi f n pri opisi yiyi vlastivostej koli n staye zanadto velikim Takim chinom yaksho f n n2 3n element 3n staye neznachnim v porivnyanni z n2 pri zanadto velikih n Todi kazhut sho funkciya f n ye asimptotichno ekvivalentna n2 pri n j simvolichno zapisuyut yak f n n2 OznachennyaFormalno dlya zadanih dvoh kompleksnoznachnih funkcij f i g sho zalezhat vid naturalnogo argumentu n pishemo f g as n displaystyle f sim g quad text as n to infty shob poznachiti cej fakt v terminah o malenkogo to f n g n o g n displaystyle f n g n o g n quad pri n displaystyle n to infty sho ekvivalentno f n 1 o 1 g n displaystyle f n 1 o 1 g n quad pri n displaystyle n to infty Ce oznachaye sho dlya dovilnoyi dodatnoyi konstanti e znajdetsya taka konstanta N sho f n g n ϵ g n displaystyle f n g n leq epsilon g n dlya vsih n N displaystyle n geq N Yaksho funkciya g n ne rivna nulyu inakshe granicya zapisana nizhche bude neviznachenoyu ce tverdzhennya ekvivalentne lim n f n g n 1 displaystyle lim n to infty frac f n g n 1 Ce vidnoshennya ye vidnoshennya ekvivalentnosti na mnozhini funkcij vid n Klas ekvivalentnosti f zagalom skladayetsya z usih funkcij g kotri rivni f v granichnomu sensi Asimptotichnij rozkladAsimptotichnij rozklad funkciyi f x faktichno ce predstavlennya ciyeyi funkciyi u viglyadi ryadiv chastkovi sumi yakih ne obov yazkovo zbigayutsya ale taki sho bud yaki chastkovi sumi yavlyayut soboyu asimptotichni formuli dlya f LiteraturaAsimptotichnij analiz nestijkih rozv yazkiv odnovimirnih stohastichnih diferencialnih rivnyan navch posib G L Kulinich Kiyiv nac un t im Tarasa Shevchenka 2 ge vid pererob i dopov Kiyiv Kiyivskij universitet 2015 125 s Vstup do asimptotichnih metodiv Integrali ta ryadi konspekt lekcij O V Barabash K Kiyivskij un t 2010 111 s Yakisnij ta asimptotichnij analiz diferencialnih rivnyan z vipadkovimi zburennyami monografiya A M Samojlenko O M Stanzhickij NAN Ukrayini Institut matematiki Proekt Naukova kniga K Naukova dumka 2009 335 s Bibliogr s 319 330 ISBN 978 966 00 0910 0 Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr