Алгебра подій

Алгебра подій в теорії ймовірностей — алгебра підмножин простору елементарних подій ${\displaystyle ~\Omega }$, елементами якого служать елементарні події.

Як і належить алгебрі множин, алгебра подій містить неможливу подію (порожня множина), замкнену відносно теоретико-множинних операцій, виконаних у скінченному числі. Достатньо щоб алгебра подій була замкнута відносно двох операцій, наприклад, перетину і доповнення, з чого відразу випливає її замкнутість відносно будь-яких інших теоретико-множинних операцій. Алгебра подій, замкнута щодо скінченного числа теоретико-множинних операцій, називається сигма-алгеброю подій.

У теорії ймовірностей зустрічаються такі алгебри та сигма-алгебри подій:

• алгебра скінченних підмножин ${\displaystyle ~\Omega }$;
• сигма-алгебра скінченних підмножин ${\displaystyle ~\Omega }$;
• алгебра підмножин ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, утворена кінцевими об'єднаннями інтервалів;
• сигма-алгебра борелівських підмножин топологічного простору ${\displaystyle ~\Omega }$, тобто найменша сигма-алгебра, що містить усі відкриті підмножини;
• алгебра циліндрів в просторі функцій і сигма-алгебра, породжена ними.

Алгебри та сигма-алгебри подій — це області визначення ймовірності ${\displaystyle \mathbf {P} }$ . Якщо ${\displaystyle \mathbf {P} (x)=0}$, то подія ${\displaystyle x\subseteq \Omega }$ називається неможливою подією; якщо ${\displaystyle \mathbf {P} (x)=1}$ , то подія ${\displaystyle x\subseteq \Omega }$ називається достовірною подією;

Подія ${\displaystyle A+B}$ або ${\displaystyle A\cup B}$ , полягає в тому, що з двох подій ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ відбувається принаймні одна, називається сумою подій ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ .

Будь–яка сигма-адитивна ймовірність на алгебрі подій однозначно продовжується до сигма-адитивної ймовірності, визначеної на сигма-алгебрі подій, породженій даною алгеброю подій.

Див. також

• Алгебра (теорія множин)
• Кільце множин