Алгебраїчні рівняння

Алгебраїчне рівня́ння, також алгебричне рівняння — рівняння вигляду

${\displaystyle P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,}$

де ${\displaystyle P}$ — многочлен від змінних ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$. Ці змінні називають невідомими.

Впорядкований набір чисел ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ задовольняє цьому рівнянню, якщо при заміні ${\displaystyle x_{1}}$ на ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ на ${\displaystyle a_{2}}$ і так далі отримується правильна числова рівність (наприклад, упорядкована трійка чисел ${\displaystyle (3,4,5)}$ задовольняє рівнянню ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$, оскільки ${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$). Число, що задовольняє алгебричне рівняння з одним невідомим, називають коренем цього рівняння. Множина всіх наборів чисел, що задовольняють дане рівняння, є множиною розв'язків цього рівняння. Два алгебричні рівняння, що мають одну й ту ж множину розв'язків, називаються рівносильними.

Степенем многочлена ${\displaystyle P}$ називається степінь рівняння ${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0.}$ Наприклад, ${\displaystyle 3x-5y+z=c}$ — рівняння першого степеня, ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$ — другого степеня, а ${\displaystyle x^{4}-3x^{3}+1=0}$ — четвертого степеня. Рівняння першого степеня називають також лінійними. Алгебричне рівняння з одним невідомим має скінченну кількість коренів, а множина розв'язків алгебричного рівняння з більшою кількістю невідомих може бути нескінченною множиною наборів чисел. Тому здебільшого розглядають не окремі алгебричні рівняння з ${\displaystyle n}$ невідомими, а системи рівнянь і шукають набори чисел, які одночасно задовольняють всі рівняння цієї системи. Сукупність усіх таких наборів утворює множину розв'язків системи. Наприклад, множина розв'язків системи рівнянь

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=10&\\x^{2}-y^{2}=8&\end{matrix}}\right.}$

така: ${\displaystyle {(3;1),(3;-1),(-3;1),(-3;-1)}.}$

Розв'язання

Алгебричні рівняння з одним невідомим степеня ${\displaystyle n}$ завжди можна записати у вигляді ${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{0}x^{n-1}+\dots +a_{n}=0}$. Формули для розв'язання алгебричних рівнянь 1-го степеня ${\displaystyle ax+b=0}$ і 2-го степеня ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ (квадратне рівняння) даються в елементарній алгебрі.

Відомі формули для розв'язання алгебричних рівнянь 3-го степеня (кубічне рівняння) і 4-го степеня. Для алгебричних рівнянь 5-го і вищих степенів не існує загальної формули, яка б виражала корені через коефіцієнти рівняння за допомогою скінченного числа арифметичних операцій і добування коренів (довів Н. Абель, поч. XIX століття).

Докладніше: Теорема Абеля — Руффіні

Історія

Алгебричні рівняння 1-го степеня з одним невідомим розв'язували вже в давньому Єгипті і давньому Вавилоні. Вавилонські переписувачі вміли розв'язувати і квадратні рівняння, а також найпростіші системи лінійних рівнянь і рівнянь 2-го степеня. За допомогою особливих таблиць вони розв'язували і деякі рівняння 3-го степеня, наприклад ${\displaystyle x^{3}+x=a}$.

У Стародавній Греції квадратні рівняння розв'язували за допомогою геометричних побудов. Грецький математик Діофант розробив методи розв'язування алгебричних рівнянь і систем таких рівнянь з багатьма невідомими в раціональних числах. Наприклад, він розв'язав у раціональних числах рівняння ${\displaystyle x^{4}-y^{4}+z^{4}=n^{2},}$ систему рівнянь ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y^{3}+x^{2}=u^{2}&\\z^{2}+x^{2}=v^{3}&\end{matrix}}\right.}$ тощо. (див. Діофантові рівняння).

Деякі геометричні задачі: подвоєння куба, трисекція кута, побудова правильного семикутника, зводяться до розв'язання кубічних рівнянь. Для їх розв'язання необхідно було відшукати точки перетину конічних перетинів (еліпсів, парабол і гіпербол). Користуючись геометричними методами, математики середньовічного Сходу досліджували розв'язки кубічних рівнянь. Проте їм не вдалося вивести загальну формулу для їх розв'язку. Першим великим відкриттям західноєвропейської математики стала отримана в XVI столітті формула для розв'язання кубічного рівняння. Оскільки в той час від'ємні числа ще не набули поширення, довелося окремо розбирати такі типи рівнянь: ${\displaystyle x^{3}+px=q,}$ ${\displaystyle x^{3}+q=px}$ тощо. Італійський математик С. дель-Феро (1465—1526) розв'язав рівняння ${\displaystyle x^{3}+px=q}$ і повідомив розв'язок своєму зятю й учневі А.-М. Фіоре, який викликав на математичний турнір чудового математика-самоука Н. Тарталью (1499−1557). За кілька днів до турніру Тарталья знайшов загальний метод розв'язування кубічних рівнянь і переміг, швидко розв'язавши всі запропоновані йому 30 завдань. Проте знайдену Тартальєю формулу розв'язку однорідного рівняння ${\displaystyle x^{3}+px+q=0}$

${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}}$

опублікував не він, а італійський учений Дж. Кардано (1501—1576), який дізнався її від Тартальї. Тоді ж Л. Феррарі (1522—1565), учень Кардано, знайшов розв'язок рівняння 4-го степеня.

Створення алгебричної символіки й узагальнення поняття числа аж до комплексних чисел дозволили в XVII—XVIII ст. досліджувати загальні властивості алгебричних рівнянь вищих степенів, а також загальні властивості многочленів від однієї і кількох змінних.

Одною з найважливіших задач теорії алгебричних рівнянь у XVII—XVIII ст. було відшукання формули для розв'язку рівняння 5-го степеня. Після безплідних пошуків багатьох поколінь алгебристів зусиллями французького вченого XVIII ст. Ж. Лагранжа (1736—1813), італійського вченого П. Руффіні (1765—1822) і норвезького математика Н. Абеля наприкінці XVIII — на початку XIX ст. було доведено, що не існує формули, за допомогою якої можна виразити корені будь-якого рівняння 5-го степеня через його коефіцієнти, використовуючи лише арифметичні операції й операцію кореня. Ці дослідження завершено роботами Е. Галуа, теорія якого дозволяє для будь-якого рівняння визначити, чи виражаються його корені в радикалах (див. Теорія Галуа). Ще до цього К. Ф. Гаус розв'язав задачу знаходження в квадратних радикалах коренів однорідного рівняння ${\displaystyle x^{n}-1=0}$, до якого зводиться задача про побудову за допомогою циркуля і лінійки правильного ${\displaystyle n}$-кутника. Зокрема, неможливо за допомогою цих інструментів побудувати правильний семикутник, дев'ятикутник і т. д. — така побудова можлива тоді, коли ${\displaystyle n}$ — просте число вигляду ${\displaystyle 2^{2^{k}}+1}$ чи добуток різних простих чисел такого вигляду.

Поряд з пошуком формул для розв'язків конкретних рівнянь було досліджено питання про існування коренів алгебричного рівняння. У XVIII ст. французький філософ і математик Ж. д'Аламбер довів, що будь-яке алгебричне рівняння ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами має хоча б один комплексний корінь. У доведенні Д'Аламбера були пропуски, які пізніше заповнив Гаус. З цієї теореми випливало, що будь-який многочлен степеня ${\displaystyle n}$ розкладається на ${\displaystyle n}$ лінійних множників.

В наш час теорія систем алгебричних рівнянь перетворилася на самостійну галузь математики — алгебричну геометрію. Вона вивчає лінії, поверхні та многовиди вищих розмірностей, що задаються системами таких рівнянь.

Посилання

1. Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1977. — Т. 1 : А — Борона. — С. Алгебричні рівняння.

Джерела

• Математический энциклопедический словарь // Москва, «Советская энциклопедия», 1988
• EqWorld «МИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ» Алгебраические уравнения [ 14 лютого 2009 у Wayback Machine.](рос.)