Аксіома залежного вибору

Аксіома залежного вибору — одне з послаблень аксіоми вибору.

Означення

Бінарне відношення ${\displaystyle R}$ на ${\displaystyle X}$ називається повним, якщо ${\displaystyle \forall a\in X,\exists b\in X:\;a\,R~b}$.

Аксіома стверджує: Для непорожньої множини] ${\displaystyle X}$ повного відношення ${\displaystyle R}$ на ${\displaystyle X,}$ існує послідовність ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ в ${\displaystyle X}$ така, що:

${\displaystyle x_{n}\,R~x_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N} .}$

Використання

Аксіома містить саме те твердження, що необхідне для існування послідовності побудованою трансфінітною індукцією зліченної довжини.

Еквівалентні твердження

• Теорема Бера про категорії для повних метричних просторів
• Теорема Льовенгейма — Сколема
• послабленої леми Цорна: якщо в частково впорядкованій множині всі ланцюги скінченні, то множина має максимальний елемент.

Джерела

• Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — .(рос.)
• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)