Істотно особлива точка

Суттєво особливою точкою аналітичної функції називається ізольована особлива точка ${\displaystyle z_{0}}$ комплексної площини, в якій не існує ані кінцевої, ані нескінченної границі при ${\displaystyle z\to z_{0}}$ для функції, однозначної та аналітичної в деякому проколотому околі цієї точки. Приклади: точка z = 0 є суттєво особливою точкою для функцій ${\displaystyle e^{\frac {1}{z}},z\sin {\frac {1}{z}},\cos {\frac {1}{z}}+\ln(1+z)}$ тощо. В околі суттєво особливої точки ${\displaystyle z_{0}}$ функція ${\displaystyle f(z)}$ може бути розкладена в ряд Лорана

Графік функції exp(1/z), довкола суттєво особливої точки z=0. Колір показує комплексний аргумент, яскравість представляє абсолютну величину. Графік показує, як при наближенні до суттєво особливої точки з різних напрямків отримуємо різну поведінку (на відміну від полюсу, оточеного однорідно білим

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}(z-z_{0})^{-n}}$,

причому серед коефіцієнтів головної частини ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},...}$ нескінченно багато відмінних від нуля. Ця властивість часто використовується для визначення суттєво особливої точки.

Про поведінку функції в околі суттєво особливої точки дозволяє судити теорема Сохоцького — Вейєрштраса. Узагальненням цієї теореми служить велика теорема Пікара: у всякому околі суттєво особливої точки аналітична функція приймає будь-яке комплексне значення, крім, можливо, одного. Остання теорема, у свою чергу, має низку узагальнень і уточнень.

У деяких відділах теорії аналітичних функцій під суттєво особливою точкою розуміють також особливі точки складнішої природи.

Література

• Маркушевич А. И., Теория. аналитических функций, 2 изд., т. 1-2, М., 1967-68;
• Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.- Л., 1941.