Теорема Сохоцького — Вейєрштраса

Теорема Сохоцького — Веєрштрасса (також теорема Казораті, теорема Казораті — Веєрштрасса) — теорема в комплексному аналізі, що описує поведінку голоморфної функції в околі істотно особливої точки. А саме відповідно до цієї теореми множина значень цієї функції в довільно малому околі істотно особливої точки є щільною множиною в множині комплексних чисел.

Вперше опублікована Казораті і Сохоцьким в 1868 році, згодом Веєрштрассом у 1876 році.

Значним посиленням теореми є велика теорема Пікара, згідно з якою множиною значень насправді є всі комплексні числа, за винятком можливо лише одного.

Твердження теореми

Нехай функція ${\displaystyle f}$ — голоморфна у відкритій множині ${\displaystyle U\ \backslash \ \{z_{0}\}}$ і в точці ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ має істотно особливу точку. Тоді для будь-якого числа ${\displaystyle A\in \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ можна знайти послідовність точок ${\displaystyle z_{n}}$ таких що ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}\to z_{0}}$ і також ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(z_{n})\to A.}$ Іншими словами якщо ${\displaystyle {\bar {D}}=D(z_{0},r)\setminus \{z_{0}\}}$ — довільний проколотий круг з центром в точці ${\displaystyle z_{0}}$, що міститься в ${\displaystyle U\ \backslash \ \{z_{0}\}}$, то множина ${\displaystyle f({\bar {D}})}$ є щільною в множині комплексних чисел.

Доведення

Нехай спершу ${\displaystyle A=\infty }$. Оскільки функція ${\displaystyle f}$ не може бути обмеженою в довільному проколотому крузі ${\displaystyle D(z_{0},r)\setminus \{z_{0}\}}$ з центром в істотно особливій точці то в цьому крузі можна знайти точку ${\displaystyle z_{1}}$ в якій ${\displaystyle |f(z_{1})|>1.}$ У той же спосіб визначається існування числа ${\displaystyle z_{2}\in D(z_{0},r/2)\setminus \{z_{0}\}}$ для якого ${\displaystyle |f(z_{2})|>2}$ і загалом чисел ${\displaystyle z_{n}\in D(z_{0},r/n)\setminus \{z_{0}\}}$ для яких ${\displaystyle |f(z_{n})|>n.}$

Очевидно, що в цьому випадку ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}\to z_{0}}$ і також ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(z_{n})\to \infty .}$

Нехай тепер ${\displaystyle A\in \mathbb {C} }$.

Якщо для кожного проколотого круга ${\displaystyle D(z_{0},r)\setminus \{z_{0}\}}$ існує така точка ${\displaystyle z_{r}\in D(z_{0},r)\setminus \{z_{0}\}}$ для якої ${\displaystyle f(z_{r})=A}$ то послідовність із твердження теореми можна визначити взявши ${\displaystyle z_{n}=z_{r/n}.}$ Тоді ${\displaystyle f(z_{n})=A}$ для всіх ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}\to z_{0}}$.

Якщо ж в деякому проколотому крузі ${\displaystyle D(z_{0},r)\setminus \{z_{0}\}}$, що міститься в ${\displaystyle U\ \backslash \ \{z_{0}\}}$ функція ${\displaystyle f(z)\neq A}$ то можна визначити функцію:

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-A}}}$

Вона буде голоморфною в ${\displaystyle D(z_{0},r)\setminus \{z_{0}\}}$ і матиме істотно особливу точку в ${\displaystyle z_{0}.}$ Тому з уже доведеного можна знайти послідовність точок ${\displaystyle z_{n}\in D(z_{0},r)\setminus \{z_{0}\}}$ таких що ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}\to z_{0}}$ і також ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g(z_{n})\to \infty .}$

Але тоді також:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(z_{n})=A+\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{f(g_{n})}}=A,}$

що завершує доведення теореми.

Див. також

• Суттєво особлива точка
• Теорема Пікара

Джерела

• Мельник Т. А.