Числа Армстронга

Самозакохане число (англ. pluperfect digital invariant, PPDI), або число Армстронга — натуральне число, яке в даній системі числення дорівнює сумі своїх цифр, піднесених до степеня, що дорівнює кількості його цифр. Іноді щоб вважати число таким, достатньо, щоб степені, до яких підносяться цифри, були рівні m — тоді число можна назвати m-самозакоханим ${\displaystyle 407=4^{3}+0^{3}+7^{3}}$.

Наприклад, десяткове число 153 — число Армстронга, тому що:

1³ + 5³ + 3³ = 153

Формальне визначення

Нехай ${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{k}d_{i}b^{i-1}}$ — число, що записується ${\displaystyle d_{k}d_{k-1}...d_{1}}$ в системі числення з основою b.

Якщо при деякому m трапиться так, що ${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{k}{d_{i}}^{m}}$, то n є m-самозакоханим числом. Якщо, понад те, ${\displaystyle m=k}$, то n можна назвати справжнім числом Армстронга.

Очевидно, що при будь-якому m може існувати лише скінченне число m-самозакоханих чисел, оскільки, починаючи з деякого k ${\displaystyle k\cdot 9^{k}<10^{k-1}-1}$.

Згадки в літературі

У ^[en]» (англ. A Mathematician's Apology), Ґ. Гарді писав:

«Є лише чотири числа, крім одиниці, які дорівнюють сумі кубів своїх цифр:
${\displaystyle 153=1^{3}+5^{3}+3^{3}}$
${\displaystyle 370=3^{3}+7^{3}+0^{3}}$
${\displaystyle 371=3^{3}+7^{3}+1^{3}}$
і ${\displaystyle 407=4^{3}+0^{3}+7^{3}}$.

Це незвичайний факт дуже зручний для головоломних розділів у газетах і для розваги зацікавлених, але в ньому немає нічого, що б приваблювало до нього математиків»

Числа Армстронга в різних системах числення

• У проміжку 1 <= N <= 11 знаходяться такі 35 чисел Армстронга:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, , деякому виразу від їхніх власних цифр. Наприклад, такими можуть бути: досконалі і дружні числа, , числа Фрідмана, тощо.

Література

• Jostion , Thomas Nelson & Sons Ltd. 1966, стор. 163—175.

Зовнішні посилання

• Weisstein, Eric W. Стаття про самозакохані числа(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• послідовність A005188 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
• (англ.) ^{[недоступне посилання]}
• Digital Invariants (англ.)

Див. також

• Нарцис (міфологія), нарцисизм.