Умовний розподіл у теорії ймовірностей — це розподіл випадкової величини за умови, що інша випадкова величина набуває визначене значення.
Визначення
Передбачимо, що задано ймовірнісний простір .
Дискретні випадкові величини
Нехай і
— випадкові величини, такі, що випадковий вектор
має дискретний розподіл, що задається функцією ймовірностей
. Нехай
такий, що
. Тоді функція
,
де - функція ймовірностей випадкової величини
, називається умовною функцією ймовірностей випадкової величини
за умови, що
. Розподіл, що задається умовною функцією ймовірностей, називається умовним розподілом.
Абсолютно неперервні випадкові величини
Нехай и
- випадкові величини, такі що випадковий вектор
має абсолютно неперервний розподіл, який задається щільностю ймовірностей
. Нехай
таке, що
, де
- щільність випадкової величини
. Тоді функція
називається умовною щільностю ймовірності випадкової величини за умови, що
. Розподіл, який задається умовною функцією ймовірності, називається умовним розподілом.
Властивості умовних розподілів
- Умовні функції ймовірності і умовна щільність ймовірності є функціями ймовірності і щільністю ймовірності відповідно, тобто вони задовольняють всім необхідним умовам. Зокрема
,
,
і
майже усюди на
,
,
- Справедливі формули повної ймовірності:
,
.
- Якщо випадкові величини
і
незалежні то умовний розподіл дорівнює безумовному:
або
майже усюди на
.
Умовні ймовірності
Дискретні випадкові величини
Якщо - зліченна підмножина
, то
.
Абсолютно неперервні випадкові величини
Якщо - борелівська підмножина
, то припускаємо за визначенням
.
Зауваження. Умовна ймовірність у лівій частині рівності не може бути визначена класичним способом, оскільки .
Умовні математичні сподівання
Дискретні випадкові величини
- Умовне математичне сподівання випадкової величини
за умови
виходить підсумовуванням щодо умовного розподілу:
.
- Умовне математичне сподівання
за умови випадкової величини
- це третя випадкова величина
, що задається рівністю
.
Абсолютно неперервні випадкові величини
- Умовне математичне сподівання випадкової величини
за умови
виходить інтеграцією щодо умовного розподілу:
.
- Умовне математичне сподівання
за умови випадкової величини
- це третя випадкова величина
, що задається рівністю
.
Джерела
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
- Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. — Springer Verlag 2004. —
- Williams D. Probability with Martingales/ — Cambridge University Press, 1991/ —
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет