У геометрії трикутника точка Аполлонія — це особлива точка, пов'язана з плоским трикутником. Ця точка є одним із центрів трикутника, і в Енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга її позначено як X(181). Центр Аполлонія також пов'язаний з задачею Аполлонія.
У літературі термін «точки Аполлонія» також використовувався для позначення ізодинамічних точок трикутника. Це пояснюється тим, що ізодинамічні точки пов'язані з трьома аполоніївськими колами, пов'язаними з трикутником.
Розв'язок задачі Аполлонія відомий потягом століть, проте точку Аполлонія вперше позначено 1987 року.
Визначення
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOW1MMlpqTDBGd2IyeHNiMjVwZFhOZmNHOXBiblF1YzNabkx6STRNSEI0TFVGd2IyeHNiMjVwZFhOZmNHOXBiblF1YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
Точка Аполлонія трикутника визначається так.
- Нехай
— даний трикутник. Нехай
,
,
— зовнівписані кола трикутника
, протилежні до вершин
,
,
відповідно. Нехай
— коло, яке дотикається до трьох кіл
,
,
так, що вони лежать в
. Нехай
,
,
— точки дотику кола
з трьома колами. Відрізки
,
,
перетинаються в одній точці. Точка перетину — точка Аполлонія трикутника
.
Задача Аполлонія — це задача побудови кола, дотичного до трьох даних кіл у площині. Загалом існує вісім кіл, що дотикаються до трьох даних кіл. Коло , згадане у визначенні, є одним із цих восьми кіл, що дотикаються до трьох зовнівписаних кіл трикутника
. В Енциклопедії центрів трикутників коло
називається колом Аполлонія трикутника
.
Трилінійні координати
Трилінійними координатами точки Аполлонія є
Див. також
- Точки Аполлонія
- Теорема Аполлонія
- Задача Аполлонія
- Кола Аполлонія
- Ізодинамічна точка трикутника
- Аполлоній Перзький (262—190 рр. до н. е.), геометр і астроном
Примітки
- Katarzyna Wilczek (2010). The harmonic center of a trilateral and the Apollonius point of a triangle. Journal of Mathematics and Applications. 32: 95—101.
- Kimberling, Clark. . Архів оригіналу за 10 May 2012. Процитовано 16 травня 2012.
- C. Kimberling; Shiko Iwata; Hidetosi Fukagawa (1987). Problem 1091 and Solution. . 13: 217—218.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ne plutati z tochkami Apolloniya U geometriyi trikutnika tochka Apolloniya ce osobliva tochka pov yazana z ploskim trikutnikom Cya tochka ye odnim iz centriv trikutnika i v Enciklopediyi centriv trikutnika Klarka Kimberlinga yiyi poznacheno yak X 181 Centr Apolloniya takozh pov yazanij z zadacheyu Apolloniya U literaturi termin tochki Apolloniya takozh vikoristovuvavsya dlya poznachennya izodinamichnih tochok trikutnika Ce poyasnyuyetsya tim sho izodinamichni tochki pov yazani z troma apoloniyivskimi kolami pov yazanimi z trikutnikom Rozv yazok zadachi Apolloniya vidomij potyagom stolit prote tochku Apolloniya vpershe poznacheno 1987 roku ViznachennyaTochka Apolloniya trikutnika viznachayetsya tak Nehaj A B C displaystyle ABC danij trikutnik Nehaj E A displaystyle E A E B displaystyle E B E C displaystyle E C zovnivpisani kola trikutnika A B C displaystyle ABC protilezhni do vershin A displaystyle A B displaystyle B C displaystyle C vidpovidno Nehaj E displaystyle E kolo yake dotikayetsya do troh kil E A displaystyle E A E B displaystyle E B E C displaystyle E C tak sho voni lezhat v E displaystyle E Nehaj A displaystyle A B displaystyle B C displaystyle C tochki dotiku kola E displaystyle E z troma kolami Vidrizki A A displaystyle AA B B displaystyle BB C C displaystyle CC peretinayutsya v odnij tochci Tochka peretinu tochka Apolloniya trikutnika A B C displaystyle ABC Zadacha Apolloniya ce zadacha pobudovi kola dotichnogo do troh danih kil u ploshini Zagalom isnuye visim kil sho dotikayutsya do troh danih kil Kolo E displaystyle E zgadane u viznachenni ye odnim iz cih vosmi kil sho dotikayutsya do troh zovnivpisanih kil trikutnika A B C displaystyle ABC V Enciklopediyi centriv trikutnikiv kolo E displaystyle E nazivayetsya kolom Apolloniya trikutnika A B C displaystyle ABC Trilinijni koordinatiTrilinijnimi koordinatami tochki Apolloniya ye a b c 2 b c a b c a 2 c a b c a b 2 a b c displaystyle frac a b c 2 b c a frac b c a 2 c a b frac c a b 2 a b c sin 2 A cos 2 B 2 C 2 sin 2 B cos 2 C 2 A 2 sin 2 C cos 2 A 2 B 2 displaystyle sin 2 A cos 2 frac B 2 frac C 2 sin 2 B cos 2 frac C 2 frac A 2 sin 2 C cos 2 frac A 2 frac B 2 Div takozhTochki Apolloniya Teorema Apolloniya Zadacha Apolloniya Kola Apolloniya Izodinamichna tochka trikutnika Apollonij Perzkij 262 190 rr do n e geometr i astronomPrimitkiKatarzyna Wilczek 2010 The harmonic center of a trilateral and the Apollonius point of a triangle Journal of Mathematics and Applications 32 95 101 Kimberling Clark Arhiv originalu za 10 May 2012 Procitovano 16 travnya 2012 C Kimberling Shiko Iwata Hidetosi Fukagawa 1987 Problem 1091 and Solution 13 217 218